Considere os pontos a seguir:
0.3
1.2
1.8
2.1
2.7
3.3
3.9
0.8
0.3
-0.3
0.5
1.5
1.9
2.7
Gostaríamos de estimar
, onde
é o polinômio interpolador de grau 3 calculado através da fórmula de Newton. Devemos escolher os pontos de forma a tentar minimizar o erro teórico máximo cometido.
Qual é o valor de
?
|
|
0.3 | 1.2 | 1.8 | 2.1 | 2.7 | 3.3 | 3.9 |
|
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0.8 | 0.3 | -0.3 | 0.5 | 1.5 | 1.9 | 2.7 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com os pontos
. As informações relevantes (pego da tabela) são:
A pergunta que precisamos responder é: qual é o valor de
?
Passo 2
Vou explicar o que significa
de forma didática. O operador diferença forward
aplicado a uma sequência
é definido por
Ou seja, é a diferença entre o valor seguinte e o atual. A segunda diferença
é a diferença da primeira diferença:
Uma fórmula equivalente, útil para cálculo direto, é
Isso é apenas a aplicação da definição duas vezes; não depende de espaçamento entre os
quando usamos a diferença simples (não a divisão por passo).
Passo 3
Para calcular
podemos usar a fórmula direta:
Vou pegar os valores da tabela indicados no Passo 1:
,
,
.
Passo 4
Agora substituo os números e faço a conta passo a passo:
Calculo o termo
, então
Somando os dois primeiros termos:
. Agora adiciono
: