Considere os pontos a seguir:
x_{i} 0.3 1.2 1.8 2.1 2.7 3.3 3.9
y_{i} 0.8 0.3 -0.3 0.5 1.5 1.9 2.7
Gostaríamos de estimar P_{3}(2.5), onde P_{3} é o polinômio interpolador de grau 3 calculado através da fórmula de Newton. Devemos escolher os pontos de forma a tentar minimizar o erro teórico máximo cometido.
Qual é o valor de \Delta^{2} y_{0} ?

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com os pontos (x_i,y_i). As informações relevantes (pego da tabela) são:
x_0=0,3,\; x_1=1,2,\; x_2=1,8,\; x_3=2,1,\; x_4=2,7,\; x_5=3,3,\; x_6=3,9
y_0=0,8,\; y_1=0,3,\; y_2=-0,3,\; y_3=0,5,\; y_4=1,5,\; y_5=1,9,\; y_6=2,7
A pergunta que precisamos responder é: qual é o valor de \Delta^{2} y_{0}?

Passo 2

Vou explicar o que significa \Delta^{2} y_{0} de forma didática. O operador diferença forward \Delta aplicado a uma sequência (y_i) é definido por
\Delta y_i = y_{i+1}-y_i.
Ou seja, é a diferença entre o valor seguinte e o atual. A segunda diferença \Delta^{2} y_i é a diferença da primeira diferença:
\Delta^{2} y_i = \Delta(\Delta y_i)=\Delta y_{i+1}-\Delta y_i.
Uma fórmula equivalente, útil para cálculo direto, é
\Delta^{2} y_i = y_{i+2}-2y_{i+1}+y_i.
Isso é apenas a aplicação da definição duas vezes; não depende de espaçamento entre os x_i quando usamos a diferença simples (não a divisão por passo).

Passo 3

Para calcular \Delta^{2} y_{0} podemos usar a fórmula direta:
\Delta^{2} y_{0}=y_{2}-2y_{1}+y_{0}.
Vou pegar os valores da tabela indicados no Passo 1: y_{0}=0,8, y_{1}=0,3, y_{2}=-0,3.

Passo 4

Agora substituo os números e faço a conta passo a passo:
\Delta^{2} y_{0}=(-0,3)-2\cdot(0,3)+0,8.
Calculo o termo 2\cdot(0,3)=0,6, então
\Delta^{2} y_{0}=-0,3-0,6+0,8.
Somando os dois primeiros termos: -0,3-0,6=-0,9. Agora adiciono 0,8:
-0,9+0,8=-0,1.

Resposta

-0,1

Exercícios relacionados