Considere os pontos na tabela abaixo. O polinômio P3(x)=-2+2 x+x^2+x^3 passa pelos pontos (xi, yi) para i in0,1,3,4.
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi -10 -4 -4 2 14
(a) Encontre um polinômio interpolador de grau não superior a 4 que passa por todos os pontos da tabela, usando o mínimo esforço computacional.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem cinco pontos
c|ccccc i&0&1&2&3&4hline xi&-2&-1&0&1&2 yi&-10&-4&-4&2&14 com
P3(x)=-2+2x+x^2+x^3
e já sabem que o polinômio de grau 3
passa certinho pelos pontos de , mas em (que é ) ele dá em vez de .
Conteúdo: interpolação polinomial.
O que vamos precisar: montar um polinômio de grau 4 que acrescente um “ajuste” nulo nos 4 pontos que já batem e corrige só em .

Passo 2

A ideia é construir
P4(x)=P3(x)+alpha,Q(x)
onde Q(x)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2) anula em .
Pilha de teoria: um polinômio que zera nesses quatro valores é
Ele vai dar zero em , ou seja, não estraga o que já estava certo.

Passo 3

Agora ajustamos P3(0)=-2, Q(0)=(0+2)(0+1)(0-1)(0-2)=2cdot1cdot(-1)cdot(-2)=4 para que em P4(0)=P3(0)+alpha,Q(0)=-4 Longrightarrow -2+4alpha=-4 Longrightarrow 4alpha=-2 Longrightarrow alpha=-tfrac12 o valor fique .
Calcamos:
Queremos

Passo 4

Logo
P4(x) =P3(x)-tfrac12,(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)
Se você quiser expandir (x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=(x^2-1)(x^2-4)=x^4-5x^2+4, :
P4(x) =-2+2x+x^2+x^3 -tfrac12l(x^4-5x^2+4r) =-tfrac12x^4+x^3+tfrac72x^2+2x-4
então

Resposta

boxedP4(x)=-tfrac12x^4+x^3+tfrac72x^2+2x-4

Exercícios relacionados