Considere a tabela
x 0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
e^x 1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou Newton) empregado ? Justifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado (parte b) pergunta o seguinte: a gente tem uma tabela de pontos e quer interpolar com polinômios — ora usando a forma de Lagrange, ora usando a forma de Newton. A dúvida é: “Será que, dependendo do método (Lagrange ou Newton), o polinômio que a gente obtém muda?”
Conteúdo: polinômio interpolador, unicidade, forma de Lagrange e forma de Newton.

Passo 2

Antes de mais nada, um pulo na teoria:
  1. Teorema da existência e unicidade de interpolação: dado P(x)=sumi=0^n yi;Li(x), Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^nx-xjxi-xj pontos com abscissas distintas, existe um único polinômio P(x)=a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)(x-x1)+cdots, de grau no máximo que passa por todos esses pontos.
  2. Forma de Lagrange:
  1. Forma de Newton (diferenças divididas):
onde os vêm das diferenças divididas.

Passo 3

O ponto-chave: apesar das duas fórmulas parecerem bem diferentes, elas produzem exatamente o MESMO polinômio . Por quê? Porque o teorema diz que só existe um único polinômio de grau que interpola esses pontos. Tanto a construção de Lagrange quanto a de Newton chegam nesse mesmo polinômio, só mudam o jeito de escrever e de calcular.

Resposta

Não, a escolha entre o polinômio de Lagrange ou o de Newton não altera o resultado final: ambos geram o mesmo polinômio interpolador, pois existe apenas uma solução possível que passe por todos os pontos dados.

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