Considere a tabela
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0 | 0,15 | 0,22 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,75 | 0,8 |
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1 | 1,1618 | 1,2461 | 1,3499 | 1,4918 | 1,6487 | 1,8221 | 2,1170 | 2,2255 |
(b) Esta escolha seria diferente, dependendo do polinômio interpolador (Lagrange ou Newton) empregado ? Justifique.
Passo 1
Beleza, o enunciado (parte b) pergunta o seguinte: a gente tem uma tabela de pontos
e quer interpolar com polinômios — ora usando a forma de Lagrange, ora usando a forma de Newton. A dúvida é: “Será que, dependendo do método (Lagrange ou Newton), o polinômio que a gente obtém muda?”
Conteúdo: polinômio interpolador, unicidade, forma de Lagrange e forma de Newton.
Conteúdo: polinômio interpolador, unicidade, forma de Lagrange e forma de Newton.
Passo 2
Antes de mais nada, um pulo na teoria:
- Teorema da existência e unicidade de interpolação: dado
pontos com abscissas distintas, existe um único polinômio de grau no máximo que passa por todos esses pontos. - Forma de Lagrange:
- Forma de Newton (diferenças divididas):
onde os
vêm das diferenças divididas.
Passo 3
O ponto-chave: apesar das duas fórmulas parecerem bem diferentes, elas produzem exatamente o MESMO polinômio
. Por quê? Porque o teorema diz que só existe um único polinômio de grau
que interpola esses pontos. Tanto a construção de Lagrange quanto a de Newton chegam nesse mesmo polinômio, só mudam o jeito de escrever e de calcular.
Resposta
Não, a escolha entre o polinômio de Lagrange ou o de Newton não altera o resultado final: ambos geram o mesmo polinômio interpolador, pois existe apenas uma solução possível que passe por todos os pontos dados.