Considere a tabela
x 0 0,15 0,22 0,3 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8
e^x 1 1,1618 1,2461 1,3499 1,4918 1,6487 1,8221 2,1170 2,2255
(d) Estime o erro máximo de interpolação para o valor obtido em c), no intervalo considerado.

Passo 1

Beleza, a questão nos dá uma tabelinha de valores de em alguns pontos entre 0 e 0,8. No item (d) a gente tem que estimar o erro máximo de interpolação para o valor que você achou em © — o exercício anterior © usou um polinômio de grau 2 (ou seja, interpolou em três pontos) pra aproximar em um certo dentro do mesmo intervalo.
Conteúdo: Remanescente (resto) da Fórmula de Interpolação de Lagrange.
O que vamos usar:
  1. A fórmula do resto de Lagrange para grau 2
  2. O fato de que todas as derivadas de são , logo, num intervalo elas são todas ≤ .

Passo 2

Remetendo à Teoria – Resto de Lagrange para um polinômio de grau 2:
Se R2(x)=f(x)-P2(x) =f^(3)(xi)3!(x-x0)(x-x1)(x-x2) interpola nos pontos , o erro em é
para algum entre o menor e o maior dos pontos .
No nosso caso , logo . Num intervalo qualquer, .

Passo 3

No item © a gente usou, por exemplo, os nós
x0=0,4, x1=0,5, x2=0,6
para aproximar |R2(0,53)|<= maxtin[0.4,,0.6]e^t3!,l|, (0,53-0,4)(0,53-0,5)(0,53-0,6)r| em . Então o resto fica
Aqui e .

Passo 4

Calculemos o produto:
(0,53-0,4)=0,13, (0,53-0,5)=0,03, (0,53-0,6)=-0,07
Em valor absoluto:
|0,13cdot0,03cdot(-0,07)|=0,13times0,03times0,07 =0,000273
Então
|R2(0,53)|<=1.82216times0.000273 approx0.3037times0.000273 approx8,3times10^-5

Resposta

O erro máximo de interpolação fica, então, da ordem de
boxed8,3times10^-5

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