Construa as diferenças divididas associadas à tabela abaixo e responda:
|
|
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1,0 | 0,7651 | ||||
1 | 1,3 | 0,6200 | ||||
2 | 1,6 | 0,4554 | ||||
3 | 1,9 | 0,2818 | ||||
4 | 2,2 | 0,1104 |
(b) Estime o valor da função
em
, por meio de um polinômio de Newton de grau 2, considerando a escolha apropriada dos pontos de interpolação.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui?
O enunciado pede duas coisas:
O enunciado pede duas coisas:
- Construir toda a tabela de diferenças divididas (na verdade são diferenças finitas) para os dados
xi = 1,0; 1,3; 1,6; 1,9; 2,2
yi = 0,7651; 0,6200; 0,4554; 0,2818; 0,1104 - Estimar f(1,2) usando o polinômio de Newton de grau 2, escolhendo apropriadamente três pontos.
Conteúdo: método das diferenças finitas e interpolação pelo polinômio de Newton.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular Δy_i = y_{i+1} – y_i (primeiras diferenças)
- Calcular Δ²y_i = Δy_{i+1} – Δy_i, Δ³y_i e Δ⁴y_i (diferenças sucessivas)
- Usar a fórmula de Newton–Gregory para polinômio de grau 2:
P₂(x) = y₀ + s·Δy₀ + [s(s–1)/2]·Δ²y₀,
onde s = (x – x₀)/h e h é o espaçamento uniforme (aqui h = 0,3).
Passo 2
Calcular as primeiras diferenças Δy:
Δy₀ = y₁ – y₀ = 0,6200 – 0,7651 = –0,1451
Δy₁ = y₂ – y₁ = 0,4554 – 0,6200 = –0,1646
Δy₂ = y₃ – y₂ = 0,2818 – 0,4554 = –0,1736
Δy₃ = y₄ – y₃ = 0,1104 – 0,2818 = –0,1714
Δy₀ = y₁ – y₀ = 0,6200 – 0,7651 = –0,1451
Δy₁ = y₂ – y₁ = 0,4554 – 0,6200 = –0,1646
Δy₂ = y₃ – y₂ = 0,2818 – 0,4554 = –0,1736
Δy₃ = y₄ – y₃ = 0,1104 – 0,2818 = –0,1714
Passo 3
Agora as diferenças de ordem superior:
Δ²y₀ = Δy₁ – Δy₀ = –0,1646 – (–0,1451) = –0,0195
Δ²y₁ = Δy₂ – Δy₁ = –0,1736 – (–0,1646) = –0,0090
Δ²y₂ = Δy₃ – Δy₂ = –0,1714 – (–0,1736) = 0,0022
Δ²y₀ = Δy₁ – Δy₀ = –0,1646 – (–0,1451) = –0,0195
Δ²y₁ = Δy₂ – Δy₁ = –0,1736 – (–0,1646) = –0,0090
Δ²y₂ = Δy₃ – Δy₂ = –0,1714 – (–0,1736) = 0,0022
Δ³y₀ = Δ²y₁ – Δ²y₀ = –0,0090 – (–0,0195) = 0,0105
Δ³y₁ = Δ²y₂ – Δ²y₁ = 0,0022 – (–0,0090) = 0,0112
Δ³y₁ = Δ²y₂ – Δ²y₁ = 0,0022 – (–0,0090) = 0,0112
Δ⁴y₀ = Δ³y₁ – Δ³y₀ = 0,0112 – 0,0105 = 0,0007
Passo 4
Montando a tabela de diferenças (só pra você visualizar):
i | xi | yi | Δy | Δ²y | Δ³y | Δ⁴y
0 | 1,0 | 0,7651 | –0,1451 | –0,0195 | 0,0105 | 0,0007
1 | 1,3 | 0,6200 | –0,1646 | –0,0090 | 0,0112 |
2 | 1,6 | 0,4554 | –0,1736 | 0,0022 | |
3 | 1,9 | 0,2818 | –0,1714 | | |
4 | 2,2 | 0,1104 | | | |
0 | 1,0 | 0,7651 | –0,1451 | –0,0195 | 0,0105 | 0,0007
1 | 1,3 | 0,6200 | –0,1646 | –0,0090 | 0,0112 |
2 | 1,6 | 0,4554 | –0,1736 | 0,0022 | |
3 | 1,9 | 0,2818 | –0,1714 | | |
4 | 2,2 | 0,1104 | | | |
Passo 5
Agora a interpolação de grau 2 em x = 1,2.
-
Escolha dos pontos: faz mais sentido pegar x₀ = 1,0; x₁ = 1,3; x₂ = 1,6 (os mais próximos de 1,2).
-
Calcular s = (x – x₀)/h = (1,2 – 1,0)/0,3 = 0,6667.
-
Escrever o polinômio de Newton–Gregory grau 2:
P₂(x) = y₀ + s·Δy₀ + [s(s–1)/2]·Δ²y₀Substituindo:
y₀ = 0,7651
Δy₀ = –0,1451
Δ²y₀ = –0,0195s = 0,6667
s(s–1)/2 = (0,6667·(–0,3333))/2 = –0,1111Logo:
P₂(1,2) = 0,7651
+ 0,6667·(–0,1451)
+ (–0,1111)·(–0,0195)P₂(1,2) = 0,7651 – 0,0967 + 0,0022 ≈ 0,6705
Resposta
A tabela de diferenças fica como no Passo 4, e a estimativa pelo polinômio de Newton grau 2 em x = 1,2 é