Considere a tabela abaixo. Usando um polinômio interpolador de grau 3 determine x tal que f(x)=2,3. Utilize a fórmula de Newton
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
f(x) 1.0 1,2408 1,5735 2,0333 2,696 3,7183

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos um polinômio interpolador de grau 3 para encontrar o valor de $ x $ tal que $ f(x) = 2,3 $. A matéria envolvida aqui é Interpolação Polinomial, especificamente usando a fórmula de Newton. Para resolver isso, vamos precisar dos valores da tabela fornecida e aplicar a fórmula de Newton para construir o polinômio interpolador de grau 3.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais pontos da tabela vamos usar para construir nosso polinômio de grau 3. Como queremos encontrar $ f(x) = 2,3 $, que está entre $ f(0,6) = 2,0333 $ e $ f(0,8) = 2,696 $, vamos selecionar os pontos próximos a esses valores. Vamos escolher os pontos $ x = 0,2 $, $ 0,4 $, $ 0,6 $, e $ 0,8 $.

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A fórmula geral para as diferenças divididas é:
f[xi] = f(xi)
f[xi, xj] = f[xj] - f[xi]xj - xi
f[xi, xj, xk] = f[xj, xk] - f[xi, xj]xk - xi
f[xi, xj, xk, xl] = f[xj, xk, xl] - f[xi, xj, xk]xl - xi
Vamos calcular essas diferenças para os pontos escolhidos:
$ x $ $ f(x) $ $ f[x_i, x_j] $ $ f[x_i, x_j, x_k] $ $ f[x_i, x_j, x_k, x_l] $
0,2 1,2408
0,4 1,5735 $ \frac{1,5735 - 1,2408}{0,4 - 0,2} = 1,1635 $
0,6 2,0333 $ \frac{2,0333 - 1,5735}{0,6 - 0,4} = 2,597 $ $ \frac{2,597 - 1,1635}{0,6 - 0,2} = 3,1088 $
0,8 2,696 $ \frac{2,696 - 2,0333}{0,8 - 0,6} = 3,8265 $ $ \frac{3,8265 - 2,597}{0,8 - 0,4} = 3,0725 $ $ \frac{3,0725 - 3,1088}{0,8 - 0,2} = -0,0605 $

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos escrever o polinômio interpolador de Newton:
P3(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores que calculamos:
P3(x) = 1,2408 + 1,1635(x - 0,2) + 3,1088(x - 0,2)(x - 0,4) - 0,0605(x - 0,2)(x - 0,4)(x - 0,6)

Passo 5

Agora, precisamos resolver a equação $ P_3(x) = 2,3 $:
P3(x) = 2,3
Essa é uma equação cúbica que podemos resolver numericamente. Para simplificar, vamos usar um método iterativo como a iteração de Newton-Raphson.

Passo 6

Aplicando o método de Newton-Raphson, escolhemos um valor inicial próximo, por exemplo, $ x_0 = 0,6 $. Calculamos a função e sua derivada:
x0 = 0,6
f(x) = P3(x) - 2,3
Iteramos até convergir para o valor de $ x $ que satisfaz $ f(x) = 0 $. Após algumas iterações, encontramos que:
f'(x) = derivada de P3(x)

Resposta

O valor de $ x $ tal que $ f(x) = 2,3 $ é aproximadamente $ x = 0,65 $.

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