Considere a tabela abaixo. Usando um polinômio interpolador de grau 3 determine
tal que
. Utilize a fórmula de Newton
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0,0 | 0,2 | 0,4 | 0,6 | 0,8 | 1,0 |
---|---|---|---|---|---|---|
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1.0 | 1,2408 | 1,5735 | 2,0333 | 2,696 | 3,7183 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usarmos um polinômio interpolador de grau 3 para encontrar o valor de $ x $ tal que $ f(x) = 2,3 $. A matéria envolvida aqui é Interpolação Polinomial, especificamente usando a fórmula de Newton. Para resolver isso, vamos precisar dos valores da tabela fornecida e aplicar a fórmula de Newton para construir o polinômio interpolador de grau 3.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais pontos da tabela vamos usar para construir nosso polinômio de grau 3. Como queremos encontrar $ f(x) = 2,3 $, que está entre $ f(0,6) = 2,0333 $ e $ f(0,8) = 2,696 $, vamos selecionar os pontos próximos a esses valores. Vamos escolher os pontos $ x = 0,2 $, $ 0,4 $, $ 0,6 $, e $ 0,8 $.
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas de Newton. A fórmula geral para as diferenças divididas é:
Vamos calcular essas diferenças para os pontos escolhidos:
$ x $ | $ f(x) $ | $ f[x_i, x_j] $ | $ f[x_i, x_j, x_k] $ | $ f[x_i, x_j, x_k, x_l] $ |
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0,2 | 1,2408 | |||
0,4 | 1,5735 | $ \frac{1,5735 - 1,2408}{0,4 - 0,2} = 1,1635 $ | ||
0,6 | 2,0333 | $ \frac{2,0333 - 1,5735}{0,6 - 0,4} = 2,597 $ | $ \frac{2,597 - 1,1635}{0,6 - 0,2} = 3,1088 $ | |
0,8 | 2,696 | $ \frac{2,696 - 2,0333}{0,8 - 0,6} = 3,8265 $ | $ \frac{3,8265 - 2,597}{0,8 - 0,4} = 3,0725 $ | $ \frac{3,0725 - 3,1088}{0,8 - 0,2} = -0,0605 $ |
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos escrever o polinômio interpolador de Newton:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação $ P_3(x) = 2,3 $:
Essa é uma equação cúbica que podemos resolver numericamente. Para simplificar, vamos usar um método iterativo como a iteração de Newton-Raphson.
Passo 6
Aplicando o método de Newton-Raphson, escolhemos um valor inicial próximo, por exemplo, $ x_0 = 0,6 $. Calculamos a função e sua derivada:
Iteramos até convergir para o valor de $ x $ que satisfaz $ f(x) = 0 $. Após algumas iterações, encontramos que:
Resposta
O valor de $ x $ tal que $ f(x) = 2,3 $ é aproximadamente $ x = 0,65 $.