Obtenha o polinômio interpolador para as funções seguintes:
f(x)=e^2 x cdot cos (3 x), com x0=0, x1=0,3 e x2=0,6 ;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar o polinômio interpolador de grau 2 (já que temos três pontos) pra função
f(x)=e^2xcos(3x)
nos nós
x0=0, x1=0,3, x2=0,6
Conteúdo: Interpolação de Lagrange. O que vamos precisar:
  1. Calcular em cada nó.
  2. Escrever os polinômios base de Lagrange .
  3. Montar .

Passo 2

Primeiro, a gente calcula os valores da função nos pontos:
  1. .
  2. .
    • Numericamente: , ,
      então .
  3. .
    • Numericamente: , ,
      então .

Passo 3

Agora vamos aos polinômios de Lagrange:
L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) =(x-0,3)(x-0,6)(0-0,3)(0-0,6) =(x-0,3)(x-0,6)0,18,
L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) =x,(x-0,6)(0,3)(0,3-0,6) =x,(x-0,6)-0,09,
L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) =x,(x-0,3)(0,6)(0,6-0,3) =x,(x-0,3)0,18
Aqui a ideia da teoria é que cada vale 1 em e 0 nos outros nós, garantindo que .

Passo 4

Montamos o polinômio como
P2(x)=f(x0)L0(x)+f(x1)L1(x)+f(x2)L2(x)
Substituindo os valores numéricos:
P2(x) =1cdot(x-0,3)(x-0,6)0,18 +1,13293cdotx,(x-0,6)-0,09 -0,75474cdotx,(x-0,3)0,18

Passo 5

Se quisermos expandir em forma padrão P2(x)approx -11,2256,x^2+3,8108,x+1 , basta desenvolver cada termo. Fazendo isso dá aproximadamente:

Resposta

O polinômio interpolador de grau 2 é
P2(x) =1cdot(x-0,3)(x-0,6)0,18 +1,13293cdotx,(x-0,6)-0,09 -0,75474cdotx,(x-0,3)0,18,
ou, expandido,
boxedP2(x)approx -11,2256,x^2+3,8108,x+1

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