Encontre soluções com precisão de 2 dígitos significativos para 3 x-e^{x}=0 no intervalo 1 \leq x \leq 2, usando o método da Bisseção.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma solução de 3x - e^{x} = 0
no intervalo [1,2] com precisão de 2 dígitos significativos, usando o método da bisseção. Informações relevantes dadas e calculadas imediatamente:
f(x)=3x-e^{x}.
Avaliações nos extremos (usei valores conhecidos de e):
f(1)=3-e^{1}=3-2,7182818\approx 0,2817182>0,
f(2)=6-e^{2}=6-7,3890561\approx -1,3890561<0.
Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (1,2) (teorema do valor intermediário). O objetivo é aplicar bisseção até obter uma aproximação que, com 2 dígitos significativos, seja garantida.

Passo 2

Breve aula sobre o método da bisseção e critério de parada para “2 dígitos significativos”:
  • Ideia do método da bisseção: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, calcula-se o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2}. Se f\text{(c)}=0 houve sorte; se f\text{(c)} tem mesmo sinal que f(a), substitui-se a por c; senão substitui-se b por c. Repetir até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
  • O que significa “2 dígitos significativos” aqui (para números entre 1 e 10)? Significa que queremos que o número arredondado com duas cifras significativas seja seguro. Para valores entre 1 e 10 a segunda cifra significativa está na casa dos décimos, logo arredondamos ao décimo mais próximo. Para garantir que o arredondamento para 2 dígitos significativos seja único, precisamos que toda a incerteza (o intervalo onde a raiz pode estar) caia dentro do mesmo intervalo de arredondamento. Por exemplo, para aproximar a raiz por 1{,}5 a região de arredondamento é [1{,}45,1{,}55). Assim, um critério prático: parar quando ambos os extremos do intervalo obtido, ao serem arredondados para 2 dígitos significativos, resultarem no mesmo valor (ou equivalentemente quando o intervalo inteiro estiver contido numa mesma “janela” de arredondamento de largura 0{,}1 centrada no valor de duas cifras). Esse critério é fácil de verificar na prática e garante a precisão pedida.
Vou aplicar bisseção e, a cada iteração, verificar o sinal de f no ponto médio e ver se os extremos arredondados (a 2 dígitos significativos) coincidem.

Passo 3

Iteração 1:
a_0=1,\quad b_0=2,\quad c_1=\frac{1+2}{2}=1{,}5.
Calcule f(c_1):
e^{1{,}5}\approx 4{,}48168907,
f(1{,}5)=3\cdot 1{,}5 - e^{1{,}5}=4{,}5-4{,}48168907\approx 0{,}01831093>0.
Sinal de f(c_1) é positivo, como f(a_0)>0, a raiz está em [c_1,b_0]=[1{,}5,2].

Passo 4

Iteração 2:
a_1=1{,}5,\quad b_1=2,\quad c_2=\frac{1{,}5+2}{2}=1{,}75.
Calcule f(c_2):
e^{1{,}75}\approx 5{,}753022\,(\text{usei }e^{1{,}75}\approx e^{1{,}5}e^{0{,}25}\approx 4{,}48168907\cdot1{,}2840254),
f(1{,}75)=3\cdot1{,}75-e^{1{,}75}=5{,}25-5{,}753022\approx -0{,}503022<0.
Sinal negativo em c_2, então a raiz está em [a_1,c_2]=[1{,}5,1{,}75].

Passo 5

Iteração 3:
a_2=1{,}5,\quad b_2=1{,}75,\quad c_3=\frac{1{,}5+1{,}75}{2}=1{,}625.
Calcule f(c_3):
e^{1{,}625}\approx 5{,}077847\,(\text{usei }e^{1{,}625}=e^{1{,}5}e^{0{,}125}\approx 4{,}48168907\cdot1{,}13314845),
f(1{,}625)=3\cdot1{,}625-e^{1{,}625}=4{,}875-5{,}077847\approx -0{,}202847<0.
Sinal negativo em c_3, então a raiz está em [1{,}5,1{,}625].

Passo 6

Iteração 4:
a_3=1{,}5,\quad b_3=1{,}625,\quad c_4=\frac{1{,}5+1{,}625}{2}=1{,}5625.
Calcule f(c_4):
e^{1{,}5625}\approx 4{,}769737\,(\text{usei }e^{1{,}5625}=e^{1{,}5}e^{0{,}0625}\approx 4{,}48168907\cdot1{,}06449446),
f(1{,}5625)=3\cdot1{,}5625-e^{1{,}5625}=4{,}6875-4{,}769737\approx -0{,}082237<0.
Sinal negativo em c_4, então a raiz está em [1{,}5,1{,}5625].
Agora faço a verificação de arredondamento para 2 dígitos significativos:
  • 1{,}5 arredondado a 2 dígitos significativos é 1{,}5.
  • 1{,}5625 arredondado a 2 dígitos significativos é 1{,}6 (pois o terceiro dígito é 6).
    Como os extremos arredondados não coincidem ( 1{,}5 vs 1{,}6), ainda não podemos garantir 2 dígitos significativos únicos; prosseguimos.

Passo 7

Iteração 5:
a_4=1{,}5,\quad b_4=1{,}5625,\quad c_5=\frac{1{,}5+1{,}5625}{2}=1{,}53125.
Calcule f(c_5):
e^{1{,}53125}\approx 4{,}623733\,(\text{usei }e^{1{,}53125}=e^{1{,}5}e^{0{,}03125}\approx 4{,}48168907\cdot1{,}0317434),
f(1{,}53125)=3\cdot1{,}53125-e^{1{,}53125}=4{,}59375-4{,}623733\approx -0{,}029983<0.
Sinal negativo em c_5, então a raiz está em [1{,}5,1{,}53125].
Agora verifico o arredondamento dos extremos:
1{,}5\\ \xrightarrow{\text{2 s.f.}}\\\ 1{,}5,\qquad 1{,}53125\\ \xrightarrow{\text{2 s.f.}}\\\ 1{,}5\quad(\text{o terceiro dígito é }3<5).íé
Os dois extremos, arredondados a 2 dígitos significativos, coincidem (ambos dão 1{,}5). Portanto, qualquer raiz dentro do intervalo [1{,}5,1{,}53125] terá, garantidamente, o mesmo valor quando arredondada a 2 dígitos significativos: 1{,}5. Assim já podemos parar com segurança.

Passo 8

Comentário final sobre a escolha da aproximação: na bisseção normalmente damos como aproximação final o ponto médio do intervalo final; aqui o ponto médio seria c_5=1{,}53125, mas como o enunciado pede precisão de 2 dígitos significativos e toda a incerteza está dentro do mesmo arredondamento, a resposta com 2 dígitos significativos é 1{,}5. Incentivo: o método é sistemático — siga estes passos em prova, calcule sinais no ponto médio, reduza o intervalo e verifique o critério de arredondamento para os dígitos significativos pedidos.

Resposta

x\approx 1{,}5

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