Encontre soluções com precisão de 2 dígitos significativos para 3 x-e^{x}=0 no intervalo 1 \leq x \leq 2, usando o método da Bisseção.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma solução de 3x - e^{x} = 0
no intervalo [1,2] com precisão de 2 dígitos significativos, usando o método da bisseção. Informações relevantes dadas e calculadas imediatamente:
f(x)=3x-e^{x}.
Avaliações nos extremos (usei valores conhecidos de e):
f(1)=3-e^{1}=3-2,7182818\approx 0,2817182>0,
f(2)=6-e^{2}=6-7,3890561\approx -1,3890561<0.
Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (1,2) (teorema do valor intermediário). O objetivo é aplicar bisseção até obter uma aproximação que, com 2 dígitos significativos, seja garantida.
Passo 2
Breve aula sobre o método da bisseção e critério de parada para “2 dígitos significativos”:
Ideia do método da bisseção: dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, calcula-se o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2}. Se f\text{(c)}=0 houve sorte; se f\text{(c)} tem mesmo sinal que f(a), substitui-se a por c; senão substitui-se b por c. Repetir até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
O que significa “2 dígitos significativos” aqui (para números entre 1 e 10)? Significa que queremos que o número arredondado com duas cifras significativas seja seguro. Para valores entre 1 e 10 a segunda cifra significativa está na casa dos décimos, logo arredondamos ao décimo mais próximo. Para garantir que o arredondamento para 2 dígitos significativos seja único, precisamos que toda a incerteza (o intervalo onde a raiz pode estar) caia dentro do mesmo intervalo de arredondamento. Por exemplo, para aproximar a raiz por 1{,}5 a região de arredondamento é [1{,}45,1{,}55). Assim, um critério prático: parar quando ambos os extremos do intervalo obtido, ao serem arredondados para 2 dígitos significativos, resultarem no mesmo valor (ou equivalentemente quando o intervalo inteiro estiver contido numa mesma “janela” de arredondamento de largura 0{,}1 centrada no valor de duas cifras). Esse critério é fácil de verificar na prática e garante a precisão pedida.
Vou aplicar bisseção e, a cada iteração, verificar o sinal de f no ponto médio e ver se os extremos arredondados (a 2 dígitos significativos) coincidem.
Sinal negativo em c_4, então a raiz está em [1{,}5,1{,}5625].
Agora faço a verificação de arredondamento para 2 dígitos significativos:
1{,}5 arredondado a 2 dígitos significativos é 1{,}5.
1{,}5625 arredondado a 2 dígitos significativos é 1{,}6 (pois o terceiro dígito é 6).
Como os extremos arredondados não coincidem (1{,}5 vs 1{,}6), ainda não podemos garantir 2 dígitos significativos únicos; prosseguimos.
Os dois extremos, arredondados a 2 dígitos significativos, coincidem (ambos dão 1{,}5). Portanto, qualquer raiz dentro do intervalo [1{,}5,1{,}53125] terá, garantidamente, o mesmo valor quando arredondada a 2 dígitos significativos: 1{,}5. Assim já podemos parar com segurança.
Passo 8
Comentário final sobre a escolha da aproximação: na bisseção normalmente damos como aproximação final o ponto médio do intervalo final; aqui o ponto médio seria c_5=1{,}53125, mas como o enunciado pede precisão de 2 dígitos significativos e toda a incerteza está dentro do mesmo arredondamento, a resposta com 2 dígitos significativos é 1{,}5. Incentivo: o método é sistemático — siga estes passos em prova, calcule sinais no ponto médio, reduza o intervalo e verifique o critério de arredondamento para os dígitos significativos pedidos.