Considere o P.V.I. ly^prime=0.04 y y(0)=1000. Estime o valor de y(1) com h=0.5, h=0.25 e h=0.1, usando
o Método de Euler Melhorado (Runge-Kutta de 2^a ordem);
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente resolva o PVI
y' = 0.04,y, y(0)=1000,
usando o Método de Euler Melhorado (Runge–Kutta de 2ª ordem) para estimar k1 &= f(tn,yn), ypred &= yn + h,k1, k2 &= f(tn + h,;ypred), yn+1 &= yn + h2(k1 + k2) com , e .
Conteúdo: equações diferenciais e método de Runge–Kutta 2ª ordem.
O que precisamos:
  1. A solução exata (para comparar erro).
  2. A fórmula do Euler Melhorado:

Passo 2

Primeiro vamos anotar yrm exata(1) ;=;1000,e^0.04cdot1;approx;1000,e^0.04;approx;1040.810774 e a solução exata em :
Esse valor é o “certinho” pra gente comparar depois o erro numérico.

Passo 3

Caso k1 &= 0.04cdot1000 = 40, yrm pred &= 1000 + 0.5cdot40 = 1020, k2 &= 0.04cdot1020 = 40.8, y1 &= 1000 + tfrac0.52(40 + 40.8) = 1000 + 0.25cdot80.8 = 1020.2 .
Temos dois passos: de k1 &= 0.04cdot1020.2 = 40.808, yrm pred &= 1020.2 + 0.5cdot40.808 = 1040.604, k2 &= 0.04cdot1040.604 = 41.62416, y2 &= 1020.2 + 0.25,(40.808 + 41.62416) = 1040.80804 e y(1)approx 1040.80804, .
Passo 1 ( ):
Passo 2 ( ):
Logo, com obtemos
erro

Passo 4

Caso y(1)approx 1040.8100855, .
Precisamos de 4 passos; apresentei o cálculo detalhado mas, resumindo, segue o resultado final:
erro

Passo 5

Caso yn+1 = ynl(1 + a h + tfrac(a h)^22r) .
Em vez de calcular 10 previsões uma a uma, notamos que para y(1)approx 1000,(1.004008)^10approx 1040.810659, o Euler melhorado dá atualização
Aqui , implica fator

Como são 10 passos até ,
erro

Resposta

Estimativas de e erros:

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