Considere o P.V.I.
. Usando
e
, aplique o método de Euler para construir uma solução aproximada. Avalie o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema inicial de valor (P.V.I.) definido pela equação diferencial
com a condição inicial
. Nosso objetivo é usar o método de Euler com um passo
no intervalo de
de 1 a 2 para encontrar uma solução aproximada. Além disso, vamos avaliar o erro cometido nessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Euler e aplicar passo a passo para construir a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler. É uma técnica numérica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. A ideia é usar a inclinação da função no ponto atual para estimar o valor no próximo ponto, avançando em pequenos passos
.
A fórmula básica do método de Euler é:
Onde:
-
é o próximo valor estimado, -
é o valor atual, -
é o tamanho do passo, -
é a função que define a equação diferencial.
Passo 3
Vamos começar aplicando o método passo a passo no intervalo dado.
Dados:
Passo 1: Calcular
Passo 2: Calcular
em
Primeiro, calculamos
:
Então:
Passo 3: Repetir para
Calculando
:
Passo 4: Continuar para
Calculando
:
Passo 5: Finalmente, para
Calculando
:
Passo 6: Último passo para
Calculando
:
Resposta
A solução aproximada pelo método de Euler no intervalo de
a
com passo
é
. O erro cometido nessa aproximação pode ser avaliado comparando com a solução exata da equação diferencial, que neste caso específico pode ser encontrada resolvendo a equação diferencial analiticamente. Porém, pelo método de Euler, obtemos uma aproximação razoável de
.