Considere o P.V.I. ly^prime=x y^1 / 3 y(1)=1. Usando h=0,2 e x in[1,2], aplique o método de Euler para construir uma solução aproximada. Avalie o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema inicial de valor (P.V.I.) definido pela equação diferencial com a condição inicial . Nosso objetivo é usar o método de Euler com um passo no intervalo de de 1 a 2 para encontrar uma solução aproximada. Além disso, vamos avaliar o erro cometido nessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método de Euler e aplicar passo a passo para construir a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o método de Euler. É uma técnica numérica simples para aproximar soluções de equações diferenciais. A ideia é usar a inclinação da função no ponto atual para estimar o valor no próximo ponto, avançando em pequenos passos yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn) .
A fórmula básica do método de Euler é:
Onde:
  • é o próximo valor estimado,
  • é o valor atual,
  • é o tamanho do passo,
  • é a função que define a equação diferencial.

Passo 3

Vamos começar aplicando o método passo a passo no intervalo dado.
Dados:
  • y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 1 + 0,2 cdot (1 cdot 1^1/3) = 1 + 0,2 cdot 1 = 1,2
  • y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 1,2 + 0,2 cdot (1,2 cdot (1,2)^1/3)
  • (1,2)^1/3 approx 1,063
  • y2 = 1,2 + 0,2 cdot (1,2 cdot 1,063) approx 1,2 + 0,2 cdot 1,2756 approx 1,2 + 0,2551 approx 1,4551
Passo 1: Calcular y3 = y2 + h cdot f(x2, y2) = 1,4551 + 0,2 cdot (1,4 cdot (1,4551)^1/3)
y3 = 1,4551 + 0,2 cdot (1,4 cdot 1,142) approx 1,4551 + 0,2 cdot 1,5988 approx 1,4551 + 0,3198 approx 1,7749
Passo 2: Calcular y4 = y3 + h cdot f(x3, y3) = 1,7749 + 0,2 cdot (1,6 cdot (1,7749)^1/3) em y4 = 1,7749 + 0,2 cdot (1,6 cdot 1,207) approx 1,7749 + 0,2 cdot 1,9312 approx 1,7749 + 0,3862 approx 2,1611
y5 = y4 + h cdot f(x4, y4) = 2,1611 + 0,2 cdot (1,8 cdot (2,1611)^1/3)
Primeiro, calculamos y5 = 2,1611 + 0,2 cdot (1,8 cdot 1,285) approx 2,1611 + 0,2 cdot 2,313 approx 2,1611 + 0,4626 approx 2,6237 :
y6 = y5 + h cdot f(x5, y5) = 2,6237 + 0,2 cdot (2,0 cdot (2,6237)^1/3)
Então:
y6 = 2,6237 + 0,2 cdot (2,0 cdot 1,376) approx 2,6237 + 0,2 cdot 2,752 approx 2,6237 + 0,5504 approx 3,1741
Passo 3: Repetir para
Calculando :
Passo 4: Continuar para
Calculando :
Passo 5: Finalmente, para
Calculando :
Passo 6: Último passo para
Calculando :

Resposta

A solução aproximada pelo método de Euler no intervalo de a com passo é . O erro cometido nessa aproximação pode ser avaliado comparando com a solução exata da equação diferencial, que neste caso específico pode ser encontrada resolvendo a equação diferencial analiticamente. Porém, pelo método de Euler, obtemos uma aproximação razoável de .

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