Considere o P.V.I. ly^prime=cos x+1 y(0)=-1. Estime o valor de y(1) com h=0.5, h=0.25 e h=0.1, usando
o Método de Heun (Runge-Kutta de 2^a ordem).
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial
y'(x)=cos x + 1, y(0)=-1,
usando o Método de Heun (que é um Runge–Kutta de 2ª ordem) para estimar yn+1=yn+h2l(f(xn,yn)+f(xn+1,yn+h,f(xn,yn))r) com três passos diferentes: yn+1=yn+h2l(f(xn)+f(xn+1)r), , e . No fim, a gente compara com a solução exata pra achar o erro.
O que a gente vai precisar:
  • A função .
  • A fórmula de Heun, que é
Como aqui não depende de , ela vira simplesmente
o famoso método do trapézio aplicado em .

Passo 2

Antes de começar os passos, bora achar a solução exata pra poder medir o erro.
  1. A ODE é y(x)=integral(cos x+1),dx=sin x + x + C . Integramos: y(0)=sin0+0+C=-1Longrightarrow C=-1
  2. Impondo y(x)=sin x + x -1, , dá y(1)=sin1 + 1 -1=sin1approx0,84147098
  3. Logo a solução exata é
e em

Passo 3

Estimativa com f(x0)=cos0+1=2, f(x1)=cos0,5+1approx1,8775826 . Temos dois passos: de y1=y0+0,52l(f(x0)+f(x1)r) =-1+0,52(2+1,8775826) =-0,03060435 a f(x1)=1,8775826, f(x2)=cos1+1approx1,5403023 e depois a y2=y1+0,52(1,8775826+1,5403023) approx0,8238654 .
  1. Primeiro passo ( E0,5=|y(1)-y2|=|0,84147098-0,8238654|approx0,0176056 , ):
  2. Segundo passo ( , ):
  3. Erro:

Passo 4

Estimativa com y(1)approx0,8370854, E0,25=|0,84147098-0,8370854|approx0,0043856 . São quatro passos de a . Vou pular as contas intermediárias rápidas e dar o resultado final:

Passo 5

Estimativa com y(1)approx -1 + 0,1l[tfracf(0)+f(1)2 + sumk=1^9 f(0,1k)r] approx0,8407747, . Aqui dá pra usar a fórmula do trapézio composto (já que E0,1=|0,84147098-0,8407747|approx0,0006963 só depende de ):

Resposta

h = 0,5 : y(1) ≈ 0,8238654 (erro ≈ 0,0176056)
h = 0,25: y(1) ≈ 0,8370854 (erro ≈ 0,0043856)
h = 0,1 : y(1) ≈ 0,8407747 (erro ≈ 0,0006963)

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