Considere o P.V.I.
. Estime o valor de
com
e
, usando
o Método de Heun (Runge-Kutta de
ordem).
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
o Método de Heun (Runge-Kutta de
Lembre-se de avaliar o erro cometido.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente resolver o problema de valor inicial
usando o Método de Heun (que é um Runge–Kutta de 2ª ordem) para estimar
com três passos diferentes:
,
e
. No fim, a gente compara com a solução exata pra achar o erro.
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- A função
. - A fórmula de Heun, que é
Como aqui
não depende de
, ela vira simplesmente
o famoso método do trapézio aplicado em
.
Passo 2
Antes de começar os passos, bora achar a solução exata pra poder medir o erro.
- A ODE é
. Integramos: - Impondo
, dá - Logo a solução exata é
e em
Passo 3
Estimativa com
. Temos dois passos: de
a
e depois a
.
- Primeiro passo (
, ): - Segundo passo (
, ): - Erro:
Passo 4
Estimativa com
. São quatro passos de
a
. Vou pular as contas intermediárias rápidas e dar o resultado final:
Passo 5
Estimativa com
. Aqui dá pra usar a fórmula do trapézio composto (já que
só depende de
):
Resposta
h = 0,5 : y(1) ≈ 0,8238654 (erro ≈ 0,0176056)
h = 0,25: y(1) ≈ 0,8370854 (erro ≈ 0,0043856)
h = 0,1 : y(1) ≈ 0,8407747 (erro ≈ 0,0006963)
h = 0,25: y(1) ≈ 0,8370854 (erro ≈ 0,0043856)
h = 0,1 : y(1) ≈ 0,8407747 (erro ≈ 0,0006963)