Considere o P.V.I. ly^prime=0.04 y y(0)=1000. Estime o valor de y(1) com h=0.5, h=0.25 e h=0.1, usando
o Método de Runge-Kutta de ordem 4.
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos o P.V.I.
y' = 0.04,y, y(0)=1000,
e que queremos aproximar pelas fórmulas de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) usando , além de estimar o erro.
Conteúdo: método numérico RK4 para EDOs e comparação com a solução exata (exponencial).
O que precisamos:
  1. Saber como se calcula cada passo de RK4 ( ).
  2. Iterar de até em subintervalos de tamanho .
  3. Comparar com a solução exata .

Passo 2

Teoria rápida do RK4: num passo genérico de tamanho k1 &= h,fl(tn,ynr), k2 &= h,fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrack12r), k3 &= h,fl(tn+tfrac h2,;yn+tfrack22r), k4 &= h,fl(tn+h,;yn+k3r), yn+1&=yn+16l(k1+2k2+2k3+k4r) , a fórmula é
No nosso caso . Basta aplicar passo a passo até .

Passo 3

Cálculo com k1&=0.5cdot0.04cdot1000=20, k2&=0.5cdot0.04,(1000+10)=20.2, k3&=0.5cdot0.04,(1000+10.1)=20.202, k4&=0.5cdot0.04,(1000+20.202)=20.40404, y1&=1000+tfrac16(20+2cdot20.2+2cdot20.202+20.40404)approx1020.20134 (2 passos de 0 a 0.5 e de 0.5 a 1):
  1. Do k1&=0.5cdot0.04cdot1020.20134approx20.4040, k2&approx20.6081,;k3approx20.6101,;k4approx20.8162, y2&=y1+tfrac16(k1+2k2+2k3+k4)approx1040.81077 :
  1. Do :
Logo, para obtemos

Passo 4

Cálculo com y(1);approx;1040.81077 (4 passos):
Repetindo exatamente o mesmo procedimento em 4 subintervalos , encontramos
(com erro ainda menor, da ordem de ).

Passo 5

Cálculo com y(1);approx;1040.81077 (10 passos):
Mesma ideia, agora em 10 passos de 0.1, dá
(o erro cai para cerca de ).

Passo 6

Solução exata:
y(t)=1000,e^0.04tLongrightarrow y(1)=1000,e^0.04approx1040.810774
Erros absolutos:
  • Para :
  • Para : .
  • Para : .

Resposta

Aproximações de pelo RK4:
  • : , erro .
  • : , erro .
  • : , erro .

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