Seja o P.V.I. ly^prime=-y y(0)=1. Usando h=0,1 e n=5, aplique o método de Euler para construir uma solução aproximada. Avalie o erro cometido.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é um P.V.I. (problema de valor inicial):
y'=-y, y(0)=1
A gente vai usar o método de Euler explícito com passo yk+1=yk + h,f(xk,yk) até (ou seja, de até ).
Conteúdo: EDO de 1ª ordem e método de Euler.
O que precisamos:
  1. A fórmula do método de Euler:
  2. A solução exata pra calcular o erro.

Passo 2

Definindo a malha: yk+1 = yk + hl(-ykr) = yk,(1 - h) = yk,(1 - 0,1) = 0,9,yk , com .
Aqui , logo

Passo 3

Agora é iterar a partir de :

Passo 4

A solução exata da EDO y(x) = C,e^-x é
y(x)=e^-x, y(xk)=e^-xk
Como , . Então

Passo 5

O erro absoluto em cada ponto é
ek = l|,y(xk)-ykr|
Vamos a alguns valores:
  • : ,
    , erro .
  • : ,
    , erro .
  • : ,
    , erro .
  • : ,
    , erro .
  • : ,
    , erro .

Resposta

Aproximações pelo método de Euler com y0=1,; y1=0,9,; y2=0,81,; y3=0,729,; y4=0,6561,; y5=0,59049 , |,y(0,5)-y5|=|,0,60653-0,59049|approx0,01604 :
Erro absoluto final em :

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