Calcule y(0.3) para y^prime=-y ; y(0)=1, aplicando o Método de Heun com h=0.1. Estime o erro e compare-o com o erro real sabendo que a solução analítica é y(x)=e^-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular y' = -y, y(0)=1 da EDO
y(x)=e^-x
usando o Método de Heun (que é o Euler melhorado) com passo . Depois ainda temos de estimar o erro desse método e comparar com o erro real, sabendo que a solução analítica é
Conteúdo: resolução numérica de EDO pelo Método de Heun e estimativa de erro truncamento.

Passo 2

Primeiro, ajeita a teoria do Método de Heun: dado k1 = f(xn,yn), tilde y = yn + h,k1 , em cada passo a gente faz
  1. Preditor (Euler explícito):
k2 = f(xn+h,tilde y), yn+1 = yn + h2,(k1 + k2)
  1. Corretor (média de inclinações):
No nosso caso .

Passo 3

Primeiro passo de k1 = -y0 = -1, tilde y = 1 + 0.1cdot(-1) = 0.9, a k2 = -,tilde y = -0.9, y1 = 1 + 0.12(-1 - 0.9) = 1 - 0.095 = 0.905 , com :

Passo 4

Segundo passo de k1 = -0.905, tilde y = 0.905 + 0.1cdot(-0.905) = 0.8145, a k2 = -0.8145, y2 = 0.905 + 0.12(-0.905 - 0.8145) = 0.905 - 0.085975 = 0.819025 , com :

Passo 5

Terceiro passo de k1 = -0.819025, tilde y = 0.819025 + 0.1cdot(-0.819025) = 0.7371225, a k2 = -0.7371225, y3 = 0.819025 + 0.12(-0.819025 - 0.7371225) = 0.819025 - 0.0778074 approx 0.7412176 , com :

Passo 6

Agora, estimação de erro. O truncamento local do Heun é da ordem taumaxapprox h^312max|y'''(x)| , mais precisamente
taumaxapprox 0.1^312 = 0.00112approx 8.33times10^-5
Como e , temos
O erro global (depois de vários passos) cresce como , numa pior estimativa dá pra usar

Passo 7

Erro real: a solução exata em y(0.3)=e^-0.3approx 0.740818 é
erro real = |0.7412176 - 0.740818|approx 3.99times10^-4
Nosso valor numérico foi , então

Resposta

Aproximação .
Erro estimado .
Erro real .

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