Considere o P.V.I. ly^prime=-xy y(0)=-1. Estime o valor de y(16).
Runge-Kutta de 4^a ordem, com h=4.
Lembre-se de avaliar o erro cometido.

Passo 1

Beleza, temos um P.V.I. (Problema de Valor Inicial)
y' = -xy, y(0) = -1,
e queremos aproximar k1 &= f(xn,yn), k2 &= fl(xn + tfrac h2,;yn + tfrac h2 k1r), k3 &= fl(xn + tfrac h2,;yn + tfrac h2 k2r), k4 &= fl(xn + h,;yn + h k3r), yn+1 &= yn + h6,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4) usando o método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo .
Conteúdo: métodos numéricos para EDOs, especificamente RK4.
O que vamos precisar:
  1. Fórmula do RK4:
  1. Vamos fazer 4 passos de 0 até 16 (pois ).

Passo 2

Passo de k1 &= f(0,-1)=0, k2 &= fl(2,,-1 +2cdot0r)=f(2,-1)=2, k3 &= fl(2,,-1 +2cdot2r)=f(2,3)=-tfrac23, k4 &= fl(4,,-1 +4cdot(-tfrac23)r) =f(4,-tfrac113) =tfrac1211 até y1 = -1 + 46l(0 +2cdot2 +2cdot(-tfrac23)+tfrac1211r) =-1 + 23cdot12433 =14999approx1.5051 , com e .
Calculemos:
Então

Passo 3

Passo de k1 &=-41.5051approx-2.6577, k2 &=fl(6,;1.5051+2cdot(-2.6577)r) =f(6,-3.8103)approx1.5748, k3 &=fl(6,;1.5051+2cdot1.5748r) =f(6,4.6547)approx-1.2887, k4 &=fl(8,;1.5051+4cdot(-1.2887)r) =f(8,-3.6497)approx2.1916 até y2 =1.5051 + 46l(-2.6577+2cdot1.5748 +2cdot(-1.2887)+2.1916r)approx1.5757 , com :
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Passo 4

Passo de k1 &=-81.5757approx-5.0787, k2 &=fl(10,;1.5757+2cdot(-5.0787)r) =f(10,-8.5817)approx1.1650, k3 &=fl(10,;1.5757+2cdot1.1650r) =f(10,3.9057)approx-2.5604, k4 &=fl(12,;1.5757+4cdot(-2.5604)r) =f(12,-8.6659)approx1.3850 até y3 =1.5757 + 46l(-5.0787+2cdot1.1650 +2cdot(-2.5604)+1.3850r)approx-2.7473 , com :
Então

Passo 5

Passo de k1 &=-12-2.7473approx4.3690, k2 &=fl(14,;-2.7473+2cdot4.3690r) =f(14,5.9907)approx-2.3372, k3 &=fl(14,;-2.7473+2cdot(-2.3372)r) =f(14,-7.4217)approx1.8865, k4 &=fl(16,;-2.7473+4cdot1.8865r) =f(16,4.7987)approx-3.3345 até y4 =-2.7473 + 46l(4.3690+2cdot(-2.3372) +2cdot1.8865+(-3.3345)r)approx-2.6586 , com :
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Passo 6

O método de Runge–Kutta 4ª ordem tem erro global da ordem . Aqui , então o resíduo teórico cresce como , onde envolve derivadas até a 4ª da solução. Sem um bound explícito de fica difícil dar um número exato, mas sabemos que, em geral, RK4 é bem preciso para passos pequenos.

Resposta

A estimativa numérica para boxedy(16)approx -2.6586 pelo método RK4 com é

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