Considere o problema de calcular uma aproximação para a raiz quadrada de um número m positivo.
(d) Escreva uma equação não-linear g(x) cuja raiz aproxima o valor de 1 / raizm. Em seguida, escreva a fórmula do método de Newton para este caso. Extra: tente resolver este problema de forma que a fórmula do método de Newton resultante não precise realizar operações de divisão a aproximação xk.

Passo 1

Beleza, a gente quer achar uma aproximação de
xk+1 ;=; xk ;-;g(xk)g'(xk)
usando o método de Newton. O conteúdo aqui é “método de Newton para achar raízes de funções” e a gente vai precisar:
  1. Escolher uma função cuja raiz seja exatamente .
  2. Saber a fórmula geral do método de Newton:

Passo 2

Primeiro, vamos escolher
g(x) ;=;1x^2;-;m
Por que? Quando temos
, ou seja . Como , pegamos a raiz positiva .

Passo 3

Agora vamos à parte de Newton. Precisamos de g(x)=x^-2-m Longrightarrow g'(x)=-2,x^-3 .
xk+1 = xk ;-;g(xk)g'(xk) = xk ;-; xk^-2-m -2,xk^-3
Substituindo na fórmula
xk^-2-m-2,xk^-3 =1/xk^2 - m-2/xk^3 =xk^3-2,l(tfrac1xk^2-mr) =-xk2,(1 - m,xk^2) =xk2,(m,xk^2 - 1)
Simplificando essa fração:
xk+1 = xk ;-;xk2(m,xk^2-1) = xk;-;m,xk^3 - xk2 =2,xk - (m,xk^3 - xk)2 =3,xk - m,xk^32
Então
boxed xk+1 = xk,3 - m,xk^22
E isso dá a forma bem bacana, sem divisão por :

Resposta

g(x) = boxedxk+1 ;=; xk,3 - m,xk^22 , cuja raiz positiva é .
Fórmula do Newton sem divisão por :

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