Considere o problema de encontrar um zero de uma função
no intervalo
com precisão
pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede-se o mínimo de iterações
do método da bissecção necessárias para encontrar um zero de uma função no intervalo com precisão . - Informações fornecidas:
- Intervalo inicial:
, então o comprimento inicial é . - Precisão desejada:
(e foi dado também ). - Método: método da bissecção (cada iteração corta o intervalo pela metade).
- Intervalo inicial:
Passo 2
Entendendo a propriedade básica da bissecção (aqui é mesmo importante entender direitinho): se começamos com um intervalo de comprimento
e fazemos
iterações da bissecção, o comprimento do intervalo resultante é obtido dividindo por
a cada iteração. Logo o comprimento após
iterações é
Explicando devagar: na 1ª iteração o intervalo torna-se
, na 2ª
, e assim por diante — porque em cada passo escolhemos o subintervalo que contém a raiz e esse subintervalo tem metade do comprimento do anterior.
Passo 3
Escolhendo o critério de parada apropriado: como nos deram
e pedem precisão no intervalo, a condição natural (e a que leva ao resultado indicado) é exigir que o comprimento do intervalo final seja menor ou igual a
, isto é:
Breve comentário sobre outra convenção: alguns livros exigem que a meia-ordenada (o erro máximo do ponto médio) seja
, o que daria
e mudaria
. Aqui, como a resposta indicada é
, seguimos a convenção usada acima (comprimento do intervalo
).
Passo 4
Aplicando os valores do problema na desigualdade:
Isolamos
passando para logaritmo em base
. Primeiro invertendo:
Agora aplicamos logaritmo base
:
Para calcular
usamos mudança de base
. Numericamente,
Passo 5
Concluímos sobre o inteiro mínimo:
deve ser um inteiro satisfazendo
. Portanto o menor inteiro que atende é
Verificação rápida e intuitiva: após
iterações o comprimento do intervalo seria
, então não basta. Após
iterações o comprimento é
, portanto
iterações garantem a precisão pedida.
Resposta
k=7