Considere o problema de encontrar um zero de uma função f(x) no intervalo [0,1] com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0.01 pelo método da bissecção. Determine o mínimo de iterações que serão realizadas.
\text { R. } k>6.64386, \text { então } k=7 \text {. }ã

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede-se o mínimo de iterações k do método da bissecção necessárias para encontrar um zero de uma função f(x) no intervalo [0,1] com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}01.
  • Informações fornecidas:
    • Intervalo inicial: [a,b]=[0,1], então o comprimento inicial é b-a=1.
    • Precisão desejada: \epsilon_{1}=0{,}01 (e foi dado também \epsilon_{2}=0{,}01).
    • Método: método da bissecção (cada iteração corta o intervalo pela metade).

Passo 2

Entendendo a propriedade básica da bissecção (aqui é mesmo importante entender direitinho): se começamos com um intervalo de comprimento b-a e fazemos k iterações da bissecção, o comprimento do intervalo resultante é obtido dividindo por 2 a cada iteração. Logo o comprimento após k iterações é
\frac{b-a}{2^{k}}.
Explicando devagar: na 1ª iteração o intervalo torna-se \frac{b-a}{2}, na 2ª \frac{b-a}{2^{2}}, e assim por diante — porque em cada passo escolhemos o subintervalo que contém a raiz e esse subintervalo tem metade do comprimento do anterior.

Passo 3

Escolhendo o critério de parada apropriado: como nos deram \epsilon_{1}=0{,}01 e pedem precisão no intervalo, a condição natural (e a que leva ao resultado indicado) é exigir que o comprimento do intervalo final seja menor ou igual a \epsilon_{1}, isto é:
\frac{b-a}{2^{k}} \le \epsilon_{1}.
Breve comentário sobre outra convenção: alguns livros exigem que a meia-ordenada (o erro máximo do ponto médio) seja \le \epsilon_{1}, o que daria \frac{b-a}{2^{k+1}}\le\epsilon_{1} e mudaria k. Aqui, como a resposta indicada é k=7, seguimos a convenção usada acima (comprimento do intervalo \le\epsilon_{1}).

Passo 4

Aplicando os valores do problema na desigualdade:
\frac{1}{2^{k}} \le 0{,}01.
Isolamos k passando para logaritmo em base 2. Primeiro invertendo:
2^{k} \ge \frac{1}{0{,}01}=100.
Agora aplicamos logaritmo base 2:
k \ge \log_{2}(100).
Para calcular \log_{2}(100) usamos mudança de base \log_{2}(100)=\dfrac{\ln(100)}{\ln(2)}. Numericamente,
\log_{2}(100)=\frac{\ln(100)}{\ln(2)}\approx\frac{4{,}605170186}{0{,}693147181}\approx 6{,}64385619.

Passo 5

Concluímos sobre o inteiro mínimo: k deve ser um inteiro satisfazendo k\ge 6{,}64385619. Portanto o menor inteiro que atende é
k=7.
Verificação rápida e intuitiva: após 6 iterações o comprimento do intervalo seria \dfrac{1}{2^{6}}=\dfrac{1}{64}\approx 0{,}015625>0{,}01, então não basta. Após 7 iterações o comprimento é \dfrac{1}{2^{7}}=\dfrac{1}{128}\approx 0{,}0078125\le 0{,}01, portanto 7 iterações garantem a precisão pedida.

Resposta

k=7

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