Obtenha a raiz quadrada do número 7 , usando o método de Newton com precisão \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0.0001.
\text { R. Usando } x_{0}=2, \text { temos } x_{1}=2.7500, x_{2}=2.6477, x_{3}=2.6458, x_{4}=2.6458

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a raiz quadrada do número 7 usando o método de Newton com tolerâncias \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0001.
Dados fornecidos e o que precisa ser obtido:
  • Valor a calcular: \sqrt{7}.
  • Método: método de Newton (iterações).
  • Critérios de parada: duas tolerâncias iguais \epsilon_{1}=0{,}0001 e \epsilon_{2}=0{,}0001.
  • Vou usar o chute inicial x_{0}=2 (conforme o enunciado-resposta parcial indicado).
    A partir daqui eu aplico o método de Newton até que ambas as tolerâncias sejam satisfeitas.

Passo 2

O método de Newton resolve equações da forma f(x)=0 por iterações a partir de um chute inicial x_{0}. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui queremos \sqrt{7}, isto é, a raiz positiva da equação x^{2}-7=0. Então escolhemos
f(x)=x^{2}-7.
A derivada é
f'(x)=2x.
Substituindo na fórmula de Newton obtemos, para este caso específico,
x_{n+1}=x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-7}{2x_{n}}=\frac{x_{n}+\dfrac{7}{x_{n}}}{2}.
Explicando as variáveis:
  • x_{n} é a aproximação na iteração n.
  • x_{n+1} é a próxima aproximação calculada pela média aritmética entre x_{n} e 7/x_{n}.
    Essa fórmula é intuitiva: a cada passo você “faz a média” entre o chute e o número que faria o produto ser 7.

Passo 3

Preciso definir claramente os critérios de parada (porque dois \epsilon foram dados):
  • Critério 1 (diferença entre iterados): parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon_{1}. Aqui \epsilon_{1}=0{,}0001.
  • Critério 2 (resíduo): parar quando |f(x_{n+1})|=|x_{n+1}^{2}-7|<\epsilon_{2}. Aqui \epsilon_{2}=0{,}0001.
    Vou iterar até que as duas condiçoes sejam satisfeitas ao mesmo tempo. É comum que uma delas seja satisfeita antes da outra; devemos continuar até que ambas ocorram.

Passo 4

Começo as iterações a partir de x_{0}=2.
Cálculo de x_{1}:
x_{1}=\frac{x_{0}+\dfrac{7}{x_{0}}}{2}=\frac{2+\dfrac{7}{2}}{2}=\frac{2+3{,}5}{2}=\frac{5{,}5}{2}=2{,}75.
Arredondando para quatro casas decimais: x_{1}=2{,}7500.
Verificações rápidas:
|x_{1}-x_{0}|=|2{,}75-2|=0{,}75>0{,}0001,
f(x_{1})=x_{1}^{2}-7=(2{,}75)^{2}-7=7{,}5625-7=0{,}5625>0{,}0001.
Portanto, ainda não paramos.

Passo 5

Cálculo de x_{2}:
x_{2}=\frac{x_{1}+\dfrac{7}{x_{1}}}{2}=\frac{\dfrac{11}{4}+\dfrac{7}{11/4}}{2}=\frac{\dfrac{11}{4}+\dfrac{28}{11}}{2}.
Para simplificar exato:
x_{2}=\frac{233}{88}\approx 2{,}6477272727\ldots
Arredondando para quatro casas: x_{2}=2{,}6477.
Verificações:
Diferença entre iterados:
|x_{2}-x_{1}|=\left|\frac{233}{88}-\frac{11}{4}\right|=\left|\frac{233-242}{88}\right|=\frac{9}{88}\approx 0{,}10227>0{,}0001.
Resíduo:
f(x_{2})=x_{2}^{2}-7=\frac{54289}{7744}-7=\frac{54289-7\cdot 7744}{7744}=\frac{81}{7744}\approx 0{,}01046>0{,}0001.
Ainda não paramos.

Passo 6

Cálculo de x_{3}:
x_{3}=\frac{x_{2}+\dfrac{7}{x_{2}}}{2}=\frac{\dfrac{233}{88}+\dfrac{616}{233}}{2}=\frac{108497}{41008}\approx 2{,}6457520483808037\ldots
Arredondando para quatro casas: x_{3}=2{,}6458.
Verificações:
Diferença entre iterados:
|x_{3}-x_{2}|\approx 2{,}6477272727-2{,}6457520484\approx 0{,}0019752243>0{,}0001,
logo o critério 1 ainda não é satisfeito.
Resíduo (aproximação numérica):
f(x_{3})=x_{3}^{2}-7\approx(2{,}6457520484)^{2}-7\approx 0{,}0000039\ldots
Observação: este valor é aproximadamente 3{,}9\times 10^{-6}, ou seja, f(x_{3})<0{,}0001. Portanto o critério 2 já está satisfeito em n=3, mas o critério 1 não; preciso continuar.

Passo 7

Cálculo de x_{4}:
x_{4}=\frac{x_{3}+\dfrac{7}{x_{3}}}{2}.
Usando as representações racionais exatas x_{3}=\dfrac{108497}{41008} e \dfrac{7}{x_{3}}=\dfrac{287056}{108497} ou usando as aproximações decimais,
x_{4}\approx\frac{2{,}6457520483808037+2{,}645750573748\ldots}{2}\approx 2{,}6457513110645907\ldots
Arredondando para quatro casas: x_{4}=2{,}6458.
Verificações finais:
Diferença entre iterados:
|x_{4}-x_{3}|\approx 2{,}64575131106-2{,}64575204838\approx 7{,}37\times 10^{-7}<0{,}0001,
portanto o critério 1 é satisfeito.
Resíduo:
f(x_{4})=x_{4}^{2}-7\approx (2{,}64575131106)^{2}-7\approx \text{algo da ordem }10^{-12}\ll 0{,}0001,
portanto o critério 2 também é satisfeito.
Como agora ambas as tolerâncias estão satisfeitas, a iteração pode ser interrompida com x_{4} como aproximação.

Passo 8

Resumo das iterações (arredondadas a quatro casas, conforme pedido/convencionado):
x_{0}=2{,}0000,\quad x_{1}=2{,}7500,\quad x_{2}=2{,}6477,\quad x_{3}=2{,}6458,\quad x_{4}=2{,}6458.
Atingimos a precisão requerida \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0001 em x_{4}. Parabéns — terminou rápido: Newton converge muito depressa!

Resposta

\sqrt{7}\approx 2{,}6458

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