O enunciado pede que eu encontre a raiz quadrada do número 7 usando o método de Newton com tolerâncias \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=0{,}0001.
Dados fornecidos e o que precisa ser obtido:
Valor a calcular: \sqrt{7}.
Método: método de Newton (iterações).
Critérios de parada: duas tolerâncias iguais \epsilon_{1}=0{,}0001 e \epsilon_{2}=0{,}0001.
Vou usar o chute inicial x_{0}=2 (conforme o enunciado-resposta parcial indicado).
A partir daqui eu aplico o método de Newton até que ambas as tolerâncias sejam satisfeitas.
Passo 2
O método de Newton resolve equações da forma f(x)=0 por iterações a partir de um chute inicial x_{0}. A fórmula de iteração é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui queremos \sqrt{7}, isto é, a raiz positiva da equação x^{2}-7=0. Então escolhemos
f(x)=x^{2}-7.
A derivada é
f'(x)=2x.
Substituindo na fórmula de Newton obtemos, para este caso específico,
x_{n+1} é a próxima aproximação calculada pela média aritmética entre x_{n} e 7/x_{n}.
Essa fórmula é intuitiva: a cada passo você “faz a média” entre o chute e o número que faria o produto ser 7.
Passo 3
Preciso definir claramente os critérios de parada (porque dois \epsilon foram dados):
Critério 1 (diferença entre iterados): parar quando |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon_{1}. Aqui \epsilon_{1}=0{,}0001.
Critério 2 (resíduo): parar quando |f(x_{n+1})|=|x_{n+1}^{2}-7|<\epsilon_{2}. Aqui \epsilon_{2}=0{,}0001.
Vou iterar até que as duas condiçoes sejam satisfeitas ao mesmo tempo. É comum que uma delas seja satisfeita antes da outra; devemos continuar até que ambas ocorram.
Observação: este valor é aproximadamente 3{,}9\times 10^{-6}, ou seja, f(x_{3})<0{,}0001. Portanto o critério 2 já está satisfeito em n=3, mas o critério 1 não; preciso continuar.
Passo 7
Cálculo de x_{4}:
x_{4}=\frac{x_{3}+\dfrac{7}{x_{3}}}{2}.
Usando as representações racionais exatas x_{3}=\dfrac{108497}{41008} e \dfrac{7}{x_{3}}=\dfrac{287056}{108497} ou usando as aproximações decimais,