Seja f(x)=x^{3}-9 x+3, x_{0}=0.5, x_{1}=0.7. Dado que o intervalo inicial é I=[0,1], encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo método da secante com precisões \epsilon_{1}=0.01 e \epsilon_{2}=0.000001.

Passo 1

O enunciado dá:
f(x)=x^{3}-9x+3,\quad x_{0}=0,5,\quad x_{1}=0,7,\quad I=[0,1],
e pede: encontrar o zero de f em I pelo método da secante usando duas precisões separadas: \epsilon_{1}=0,01 e \epsilon_{2}=0,000001.
Informações relevantes listadas:
  • Função: f(x)=x^{3}-9x+3.
  • Palpite inicial 1: x_{0}=0,5.
  • Palpite inicial 2: x_{1}=0,7.
  • Critério de parada adotado: vamos usar a condição comum de secante |x_{n+1}-x_{n}|<\epsilon (ou seja, quando a mudança entre iterações ficar menor que a precisão pedida).
  • Objetivo: aplicar iterações da secante até atingir \epsilon_{1} e depois repetir até atingir \epsilon_{2}.

Passo 2

Explicando didaticamente o método da secante (fórmula e interpretação).
  • Ideia: aproximar a curva y=f(x) por uma reta que passa por dois pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_{n},f(x_{n})), e usar a interseção dessa reta com o eixo x como próxima aproximação x_{n+1}.
  • Fórmula da secante (aplicada com os dois últimos pontos):
x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})\frac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • x_{n-1} e x_{n} são as duas últimas aproximações conhecidas;
  • f(x_{n-1}) e f(x_{n}) são os valores da função nesses pontos;
  • o quociente \dfrac{x_{n}-x_{n-1}}{f(x_{n})-f(x_{n-1})} é a inversa da inclinação da reta secante; multiplicando por f(x_n) deslocamos x_n até a raiz estimada da reta.
  • Critério de parada: sempre verificamos |x_{n+1}-x_{n}|; quando for menor que \epsilon paramos e aceitamos x_{n+1} como aproximação.

Passo 3

Calculando os valores iniciais f(x_{0}) e f(x_{1}) (passo-a-passo):
f(0,5)=(0,5)^{3}-9(0,5)+3=0,125-4,5+3=-1,375.
f(0,7)=(0,7)^{3}-9(0,7)+3=0,343-6,3+3=-2,957.
Anotações: ambos negativos — a secante vai gerar aproximações que podem mover-se para a região onde há mudança de sinal (há uma raiz entre 0 e 0,5, já que f(0)=3>0 e f(0,5)<0).

Passo 4

Primeira iteração: cálculo de x_{2} pela fórmula da secante usando x_{0} e x_{1}.
Aplicando
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}
substituindo números:
x_{2}=0,7-(-2,957)\frac{0,7-0,5}{-2,957-(-1,375)} =0,7-\frac{-2,957\cdot 0,2}{-1,582}.
Calculemos passo a passo:
-2,957\cdot 0,2=-0,5914,
-1,582=-2,957+1,375,
\frac{-0,5914}{-1,582}\approx 0,373916.
Portanto
x_{2}\approx 0,7-0,373916=0,326084.
Agora f(x_{2}):
f(0,326084)\approx (0,326084)^{3}-9(0,326084)+3\approx 0,034646-2,934756+3\approx 0,0998898.
Observação: f(x_{2})>0, então agora temos duas aproximações com sinais opostos ( f(x_{1})<0 e f(x_{2})>0), o que é bom para convergência.

Passo 5

Segunda iteração: cálculo de x_{3} usando x_{1} e x_{2}.
Fórmula:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo valores:
x_{3}=0,326084-0,0998898\frac{0,326084-0,7}{0,0998898-(-2,957)}.
Calculemos:
x_{2}-x_{1}=-0,373916,
f(x_{2})-f(x_{1})=0,0998898+2,957=3,0568898,
0,0998898\cdot(-0,373916)=-0,0373388,
\frac{-0,0373388}{3,0568898}\approx -0,0122127.
Logo
x_{3}\approx 0,326084-(-0,0122127)=0,3382967.
Agora f(x_{3}):
f(0,3382967)\approx (0,3382967)^{3}-9(0,3382967)+3\approx 0,0387245-3,0446703+3\approx -0,0059456.

Passo 6

Terceira iteração: cálculo de x_{4} usando x_{2} e x_{3}.
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo:
x_{3}-x_{2}=0,0122127,
f(x_{3})-f(x_{2})=-0,0059456-0,0998898=-0,1058354,
f(x_{3})\cdot(x_{3}-x_{2})\approx -0,0059456\cdot 0,0122127\approx -0,00007258,
\frac{-0,00007258}{-0,1058354}\approx 0,0006860.
Portanto
x_{4}\approx 0,3382967-0,0006860=0,3376107.
Calculando f(x_{4}) (aproximação):
f(0,3376107)\approx (0,3376107)^{3}-9(0,3376107)+3\approx 0,0384812-3,0384963+3\approx -0,00001497.
Agora verificamos o critério de parada para \epsilon_{1}=0,01:
|x_{4}-x_{3}|\approx 0,0006860<0,01,
logo para \epsilon_{1}=0,01 podemos parar e aceitar x_{4} como aproximação da raiz. Resultado intermédio:
x\approx 0,3376107\quad(\text{com precisão }0,01).ã

Passo 7

Continuando para a precisão mais fina \epsilon_{2}=0,000001: ainda precisamos iterar porque a última diferença foi 6{,}86\times 10^{-4}, maior que 10^{-6}? Na verdade 6{,}86\times 10^{-4}=0,000686>0,000001, então continuaremos (já vimos que para \epsilon_{1} paramos, mas para \epsilon_{2} precisamos de mais iterações).
Quarta iteração (já feita parcialmente): usamos x_{3} e x_{4} para obter x_{5}:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo os valores aproximados:
x_{4}-x_{3}\approx -0,0006860,
f(x_{4})\approx -1,4966\times 10^{-5},\quad f(x_{3})\approx -5,9456\times 10^{-3},
f(x_{4})-f(x_{3})\approx 0,00593065,
f(x_{4})\cdot(x_{4}-x_{3})\approx (-1,4966\times 10^{-5})\cdot(-6,86\times 10^{-4})\approx 1,03\times 10^{-8},
\frac{1,03\times 10^{-8}}{0,00593065}\approx 1,732\times 10^{-6}.
Então
x_{5}\approx x_{4}-1,732\times 10^{-6}\approx 0,3376106822-0,000001732\approx 0,3376089502.
Diferença:
|x_{5}-x_{4}|\approx 1,732\times 10^{-6}.
Ainda não alcançamos \epsilon_{2}=10^{-6} (pois 1{,}732\times 10^{-6}>10^{-6}), então precisamos de mais uma iteração.

Passo 8

Quinta iteração: calcular x_{6} usando x_{4} e x_{5}.
Primeiro estimamos f(x_{5}). Para não refazer cubos longos, podemos usar a linearização (expansão de primeira ordem) porque x_{5} está muito perto de x_{4}:
  • Derivada: f'(x)=3x^{2}-9. Em x_{4}\approx 0,3376107 temos
f'(x_{4})\approx 3(0,3376107)^{2}-9\approx -8,658057.
  • Logo a variação de f entre x_{4} e x_{5} é aproximadamente
\Delta f\approx f'(x_{4})(x_{5}-x_{4})\approx -8,658057\cdot(-1,732\times 10^{-6})\approx 1,499\times 10^{-5}.
Como f(x_{4})\approx -1,4966\times 10^{-5}, temos
f(x_{5})\approx f(x_{4})+\Delta f\approx -1,4966\times 10^{-5}+1,499\times 10^{-5}\approx 2,4\times 10^{-8}.
Agora aplicamos a secante:
x_{6}=x_{5}-f(x_{5})\frac{x_{5}-x_{4}}{f(x_{5})-f(x_{4})}.
Substituindo os números:
x_{5}-x_{4}\approx -1,732\times 10^{-6},
f(x_{5})-f(x_{4})\approx 2,4\times 10^{-8}-(-1,4966\times 10^{-5})\approx 1,499\times 10^{-5},
f(x_{5})\cdot(x_{5}-x_{4})\approx (2,4\times 10^{-8})\cdot(-1,732\times 10^{-6})\approx -4,1\times 10^{-14},
\frac{-4,1\times 10^{-14}}{1,499\times 10^{-5}}\approx -2,7\times 10^{-9}.
Portanto
x_{6}\approx x_{5}-(-2,7\times 10^{-9})\approx x_{5}+2,7\times 10^{-9}\approx 0,3376089530\\ \text{(aprox.)}.
Agora a diferença
|x_{6}-x_{5}|\approx 2,7\times 10^{-9}<10^{-6},
portanto com esta iteração atingimos a precisão exigida \epsilon_{2}=0,000001.

Resposta

\epsilon_{1}=0,01:\; x\approx 0,3376107
\epsilon_{2}=0,000001:\; x\approx 0,33760895

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