Seja
. Dado que o intervalo inicial é
, encontre o zero desta função, neste intervalo, pelo método da secante com precisões
e
.
Passo 1
O enunciado dá:
e pede: encontrar o zero de
em
pelo método da secante usando duas precisões separadas:
e
.
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- Função:
. - Palpite inicial 1:
. - Palpite inicial 2:
. - Critério de parada adotado: vamos usar a condição comum de secante
(ou seja, quando a mudança entre iterações ficar menor que a precisão pedida). - Objetivo: aplicar iterações da secante até atingir
e depois repetir até atingir .
Passo 2
Explicando didaticamente o método da secante (fórmula e interpretação).
- Ideia: aproximar a curva
por uma reta que passa por dois pontos e , e usar a interseção dessa reta com o eixo como próxima aproximação . - Fórmula da secante (aplicada com os dois últimos pontos):
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações conhecidas; -
e são os valores da função nesses pontos; - o quociente
é a inversa da inclinação da reta secante; multiplicando por deslocamos até a raiz estimada da reta. - Critério de parada: sempre verificamos
; quando for menor que paramos e aceitamos como aproximação.
Passo 3
Calculando os valores iniciais
e
(passo-a-passo):
Anotações: ambos negativos — a secante vai gerar aproximações que podem mover-se para a região onde há mudança de sinal (há uma raiz entre
e
, já que
e
).
Passo 4
Primeira iteração: cálculo de
pela fórmula da secante usando
e
.
Aplicando
Aplicando
substituindo números:
Calculemos passo a passo:
Portanto
Agora
:
Observação:
, então agora temos duas aproximações com sinais opostos (
e
), o que é bom para convergência.
Passo 5
Segunda iteração: cálculo de
usando
e
.
Fórmula:
Fórmula:
Substituindo valores:
Calculemos:
Logo
Agora
:
Passo 6
Terceira iteração: cálculo de
usando
e
.
Substituindo:
Portanto
Calculando
(aproximação):
Agora verificamos o critério de parada para
:
logo para
podemos parar e aceitar
como aproximação da raiz. Resultado intermédio:
Passo 7
Continuando para a precisão mais fina
: ainda precisamos iterar porque a última diferença foi
, maior que
? Na verdade
, então continuaremos (já vimos que para
paramos, mas para
precisamos de mais iterações).
Quarta iteração (já feita parcialmente): usamos e
para obter
:
Quarta iteração (já feita parcialmente): usamos
Substituindo os valores aproximados:
Então
Diferença:
Ainda não alcançamos
(pois
), então precisamos de mais uma iteração.
Passo 8
Quinta iteração: calcular
usando
e
.
Primeiro estimamos . Para não refazer cubos longos, podemos usar a linearização (expansão de primeira ordem) porque
está muito perto de
:
Primeiro estimamos
- Derivada:
. Em temos
- Logo a variação de
entre e é aproximadamente
Como
, temos
Agora aplicamos a secante:
Substituindo os números:
Portanto
Agora a diferença
portanto com esta iteração atingimos a precisão exigida
.