\mathbf{8}^{\circ} Questão. a) Mostre que a raiz quadrada de um número real positivo A pode ser calculada usando-se iterações do tipo
x_{k+1}=0,5 \times\left(x_{k}+\frac{A}{x_{k}}\right)
para k=0,1,2, \ldots.
b) Use as iterações do item anterior para calcular \sqrt{11} com precisão \left|x_{k+1}-x_{k}\right| \leq 0.0001 e usando a aproximação inicial x_{0}=5,5.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que a raiz quadrada de um número real positivo A pode ser obtida por meio das iterações
x_{k+1}=0,5\times\left(x_k+\frac{A}{x_k}\right),\qquad k=0,1,2,\dots
com uma aproximação inicial x_0>0.
  • (b) Aplicar essas iterações para calcular \sqrt{11} até que a diferença entre duas iterações consecutivas satisfaça \left|x_{k+1}-x_k\right|\le 0{,}0001, usando x_0=5{,}5.
Dados relevantes: A>0; no item (b) temos A=11 e x_0=5{,}5. A condição de parada é \left|x_{k+1}-x_k\right|\le 0{,}0001.

Passo 2

Primeiro vamos verificar que um ponto fixo da iteração é a raiz quadrada de A. Se a sequência converge para algum limite L então, passando ao limite na relação de recorrência, obtemos
L = 0,5\left(L+\frac{A}{L}\right).
Multiplicando por 2L e reordenando:
2L^2 = L^2 + A \quad\Rightarrow\quad L^2 = A.
Como estamos tomando iterações com x_0>0 e a fórmula mantém termos positivos, o limite L só pode ser a raiz positiva, isto é L=\sqrt{A}. Assim, qualquer limite da iteração tem de ser \sqrt{A}.

Passo 3

Agora explico por que a iteração realmente converge para \sqrt{A} (para x_0>0), e dou uma fórmula de erro útil para acelerar a intuição.
Defina s=\sqrt{A}. Substituindo A=s^2 na definição de x_{k+1} e subtraindo s, obtemos
x_{k+1}-s = 0,5\left(x_k+\frac{s^2}{x_k}\right)-s.
Colocando sobre o mesmo denominador e simplificando (fazendo a álgebra passo a passo):
x_{k+1}-s=\frac{1}{2}\cdot\frac{x_k^2+s^2-2s x_k}{x_k}=\frac{(x_k-s)^2}{2x_k}.
Isso é muito importante: a diferença entre x_{k+1} e s é o quadrado da diferença anterior dividido por 2x_k.

Passo 4

Da fórmula \displaystyle x_{k+1}-s=\frac{(x_k-s)^2}{2x_k} tiramos várias conclusões práticas e didáticas:
  • Se x_k>0 e x_k\ne s, então x_{k+1}-s>0. Logo, todos os termos permanecem positivos e ficam do mesmo lado de s (se x_0>s a sequência decresce para s; se x_0<s a sequência aumenta para s).
  • A sequência é monotônica e limitada (por s de um lado), logo converge.
  • A taxa de convergência é quadrática: o erro novo é aproximadamente proporcional ao quadrado do erro antigo quando estamos perto da solução. Isso explica por que, em poucas iterações, temos uma aproximação muito boa.
Essas observações justificam que a iteração calcula \sqrt{A} e que converge rápido quando começamos com x_0>0.

Passo 5

Agora aplicamos o método para A=11 com x_0=5{,}5. Vamos calcular iterativamente os x_k até satisfazer \left|x_{k+1}-x_k\right|\le 0{,}0001.
Cálculo explícito das primeiras iterações (faço contas detalhadas e, quando possível, exatas em forma de fração para você poder reproduzir sem calculadora):
  • x_0=5{,}5.
  • x_1 = 0{,}5\left(5{,}5+\dfrac{11}{5{,}5}\right). Note que \dfrac{11}{5{,}5}=2, então
x_1=0{,}5(5{,}5+2)=0{,}5\cdot 7{,}5=3{,}75.
  • x_2 = 0{,}5\left(3{,}75+\dfrac{11}{3{,}75}\right). Calcule \dfrac{11}{3{,}75}=\dfrac{11}{15/4}= \dfrac{44}{15}. Então
x_2=0{,}5\left(\frac{15}{4}+\frac{44}{15}\right)=0{,}5\cdot\frac{401}{60}=\frac{401}{120}\approx 3{,}3416666667.

Passo 6

Continuando:
  • x_3 = 0{,}5\left(x_2+\dfrac{11}{x_2}\right) com x_2=\dfrac{401}{120}. Então
\dfrac{11}{x_2} = 11\cdot\frac{120}{401}=\frac{1320}{401}.
Somando e multiplicando por 0{,}5:
x_3 = 0{,}5\left(\frac{401}{120}+\frac{1320}{401}\right)=\frac{319201}{96240}\approx 3{,}3167186201.
Observe que a conta acima segue trocando números por frações exatas para evitar arredondamentos desnecessários.
Agora calculemos a diferença |x_3-x_2|:
|x_3-x_2|\approx |3{,}3167186201-3{,}3416666667|\approx 0{,}0249480466,
que é bem maior que 0{,}0001. Portanto precisamos de mais uma iteração.

Passo 7

Calcule x_4. Podemos usar novamente a expressão fracionária. Note que
\frac{11}{x_3}=11\cdot\frac{96240}{319201}=\frac{1058640}{319201}\approx 3{,}3165309632
(essa divisão pode ser feita por algoritmo das divisões longas, como eu fiz nos cálculos). Então
x_4=0{,}5\left(\frac{319201}{96240}+\frac{1058640}{319201}\right)\approx 0{,}5\bigl(3{,}3167186201+3{,}3165309632\bigr)
x_4 \approx 0{,}5\cdot 6{,}6332495833 \approx 3{,}31662479165.
Agora calcule a diferença entre as últimas iterações:
|x_4-x_3|\approx |3{,}31662479165-3{,}3167186201|\approx 0{,}00009382845.
Verificamos que
|x_4-x_3|\approx 0{,}0000938 \le 0{,}0001,
logo a condição de parada foi satisfeita entre x_3 e x_4. Portanto podemos aceitar x_4 como aproximação de \sqrt{11} dentro da precisão exigida.

Passo 8

Comentário final e cheque de qualidade: a aproximação obtida
x_4\approx 3{,}31662479165
é consistente com o valor verdadeiro \sqrt{11}\approx 3{,}3166247903554. A diferença real para \sqrt{11} é da ordem de 10^{-9}, muito menor que a tolerância pedida. Assim o método funcionou rapidamente (apenas 4 iterações a partir de x_0=5{,}5).

Resposta

(a) A sequência definida por \displaystyle x_{k+1}=0{,}5\left(x_k+\frac{A}{x_k}\right) com x_0>0 tem como ponto fixo L satisfazendo L^2=A, portanto qualquer limite é L=\sqrt{A}; além disso, com x_0>0 a sequência permanece positiva, é monotônica e limitada e converge para \sqrt{A}.
(b) Usando x_0=5{,}5 obtemos x_1=3{,}75, x_2=\dfrac{401}{120}\approx 3{,}3416666667, x_3=\dfrac{319201}{96240}\approx 3{,}3167186201 e x_4\approx 3{,}31662479165; como |x_4-x_3|\approx 0{,}0000938\le 0{,}0001, a aproximação exigida é
\sqrt{11}\approx 3{,}31662479165.

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