Questão. a) Mostre que a raiz quadrada de um número real positivo
pode ser calculada usando-se iterações do tipo
para
.
b) Use as iterações do item anterior para calcular
com precisão
e usando a aproximação inicial
.
b) Use as iterações do item anterior para calcular
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que a raiz quadrada de um número real positivo
pode ser obtida por meio das iterações
com uma aproximação inicial
.
- (b) Aplicar essas iterações para calcular
até que a diferença entre duas iterações consecutivas satisfaça , usando .
Dados relevantes:
; no item (b) temos
e
. A condição de parada é
.
Passo 2
Primeiro vamos verificar que um ponto fixo da iteração é a raiz quadrada de
. Se a sequência converge para algum limite
então, passando ao limite na relação de recorrência, obtemos
Multiplicando por
e reordenando:
Como estamos tomando iterações com
e a fórmula mantém termos positivos, o limite
só pode ser a raiz positiva, isto é
. Assim, qualquer limite da iteração tem de ser
.
Passo 3
Agora explico por que a iteração realmente converge para
(para
), e dou uma fórmula de erro útil para acelerar a intuição.
Defina
. Substituindo
na definição de
e subtraindo
, obtemos
Colocando sobre o mesmo denominador e simplificando (fazendo a álgebra passo a passo):
Isso é muito importante: a diferença entre
e
é o quadrado da diferença anterior dividido por
.
Passo 4
Da fórmula
tiramos várias conclusões práticas e didáticas:
- Se
e , então . Logo, todos os termos permanecem positivos e ficam do mesmo lado de (se a sequência decresce para ; se a sequência aumenta para ). - A sequência é monotônica e limitada (por
de um lado), logo converge. - A taxa de convergência é quadrática: o erro novo é aproximadamente proporcional ao quadrado do erro antigo quando estamos perto da solução. Isso explica por que, em poucas iterações, temos uma aproximação muito boa.
Essas observações justificam que a iteração calcula
e que converge rápido quando começamos com
.
Passo 5
Agora aplicamos o método para
com
. Vamos calcular iterativamente os
até satisfazer
.
Cálculo explícito das primeiras iterações (faço contas detalhadas e, quando possível, exatas em forma de fração para você poder reproduzir sem calculadora):
-
. -
. Note que , então
-
. Calcule . Então
Passo 6
Continuando:
-
com . Então
Somando e multiplicando por
:
Observe que a conta acima segue trocando números por frações exatas para evitar arredondamentos desnecessários.
Agora calculemos a diferença
:
que é bem maior que
. Portanto precisamos de mais uma iteração.
Passo 7
Calcule
. Podemos usar novamente a expressão fracionária. Note que
(essa divisão pode ser feita por algoritmo das divisões longas, como eu fiz nos cálculos). Então
Agora calcule a diferença entre as últimas iterações:
Verificamos que
logo a condição de parada foi satisfeita entre
e
. Portanto podemos aceitar
como aproximação de
dentro da precisão exigida.
Passo 8
Comentário final e cheque de qualidade: a aproximação obtida
é consistente com o valor verdadeiro
. A diferença real para
é da ordem de
, muito menor que a tolerância pedida. Assim o método funcionou rapidamente (apenas 4 iterações a partir de
).
Resposta
(a) A sequência definida por
com
tem como ponto fixo
satisfazendo
, portanto qualquer limite é
; além disso, com
a sequência permanece positiva, é monotônica e limitada e converge para
.
(b) Usando obtemos
,
,
e
; como
, a aproximação exigida é
(b) Usando