1. Considere o problema de encontrar o zero da função f(x)=x+\ln (x) no intervalo [0.5,0.6] usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
    a) \varphi(x)=-\ln (x)
    b) \varphi(x)=e^{-x}
Aproxime a raiz dessa função pelo Método Ponto Fixo, com erro \epsilon \leq 10^{-2}, tomando a opção que convergente dentre as funções acima e utilize x_{0}=0.55.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) analisar a convergência do método do ponto fixo para encontrar a raiz de f(x)=x+\ln(x) no intervalo [0{,}5,0{,}6] quando a função de iteração é dada por cada uma das opções abaixo; (ii) escolher a opção que converge e aproximar a raiz com erro \epsilon\leq10^{-2} usando o ponto inicial x_{0}=0{,}55.
Informações dadas e pedidos explícitos:
f(x)=x+\ln(x),\qquad [a,b]=[0{,}5,0{,}6],\qquad x_0=0{,}55,\qquad \epsilon\le 10^{-2}.
Funções de iteração fornecidas:
a) \varphi(x)=-\ln(x).
b) \varphi(x)=e^{-x}.
Vou primeiro analisar convergência para cada \varphi no intervalo dado; depois aplicar o método ponto fixo (iterações) com a opção que converge até garantir erro \le 10^{-2}.

Passo 2

Conceito-chave (didático e simples): para que a iteração de ponto fixo x_{n+1}=\varphi(x_n) convirja para um ponto fixo \alpha dentro de um intervalo, é muito útil (condição suficiente) que:
  1. \varphi seja uma função que mapeie o intervalo no próprio intervalo (ou pelo menos contenha o ponto fixo e as iterações iniciadas em x_0 fiquem no intervalo); e
  2. exista uma constante k\in[0,1) tal que |\varphi'(x)|\le k para todo x no intervalo — isto é, \varphi é uma contracção com constante k. Se isso vale, a convergência é garantida e é linear com razão ao redor de k.
Explicação das variáveis nas fórmulas: \varphi'(x) é a derivada de \varphi; k é a constante que limita |\varphi'|; \alpha é a solução de \alpha=\varphi(\alpha), ou seja, a raiz procurada de f aqui.
Agora aplico isso às duas \varphi.

Passo 3

Análise para a alternativa (a): \varphi(x)=-\ln(x).
  1. Verifico imagem nos extremos do intervalo (estou pegando esses valores do enunciado do intervalo [0{,}5,0{,}6]):
\varphi(0{,}5)=-\ln(0{,}5)=0{,}693147\ldots
Esse valor é maior que 0{,}6. Portanto \varphi não mapeia todo o intervalo [0{,}5,0{,}6] nele mesmo — já temos um sinal de problema (as iterações podem sair do intervalo).
  1. Derivada:
\varphi'(x)=-\frac{1}{x}.
No intervalo dado, |\varphi'(x)|=\frac{1}{x}\ge \frac{1}{0{,}6}\approx 1{,}6667>1. \] Como a derivada em módulo é maior que 1 em todo o intervalo, \(\varphi não é uma contracção aí; isso indica divergência ou comportamento oscilante — não se satisfaz a condição suficiente para convergência. Conclusão: a) não converge (não é adequada).)

Passo 4

Análise para a alternativa (b): \varphi(x)=e^{-x}.
  1. Derivada:
\varphi'(x)=-e^{-x},
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|\varphi'(x)|=e^{-x}.
No intervalo [0{,}5,0{,}6] temos
e^{-x}\le e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653066,
portanto podemos tomar a constante
k=\max_{x\in[0{,}5,0{,}6]}|\varphi'(x)|=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653<1.
Isto mostra que \varphi é uma contracção (em módulo da derivada) no intervalo — condição favorável.
Observação sobre mapeamento do intervalo: \varphi(0{,}5)=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653 (ligeiramente maior que 0{,}6), então tecnicamente \varphi não manda exatamente todo [0{,}5,0{,}6] em si. Porém o ponto fixo \alpha da equação \alpha=e^{-\alpha} satisfaz 0{,}56\ldots (fica dentro do intervalo) e a derivada em torno desse ponto tem módulo menor que 1, o que garante que, se começarmos em x_0=0{,}55, as iterações permanecem próximas e convergem ao ponto fixo — e você verá nas iterações que x_1,x_2,\dots ficam dentro de [0{,}5,0{,}6] exceto por uma leve ultrapassagem em extremidade baixa que não impede a convergência. Por isso escolhemos (b) como a opção que converge na prática para o ponto inicial dado.
Conclusão: (b) converge (é a escolha adequada); (a) não converge.

Passo 5

Fórmula de controle do erro (didática): se \varphi é contracção com constante k\in[0,1) e x_{n+1}=\varphi(x_n), então vale a estimativa prática útil
|x_n-\alpha|\le \frac{k}{1-k}\,|x_n-x_{n-1}|\quad\text{para }n\ge1,
onde \alpha é o ponto fixo. Esta desigualdade é derivada somando a série geométrica que aparece quando se relaciona x_n-\alpha com diferenças sucessivas; é muito útil porque nos permite controlar o erro real |x_n-\alpha| usando apenas a diferença entre duas iterações consecutivas, que computamos diretamente.
Aqui, para \varphi(x)=e^{-x} tomamos
k=e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653066,\qquad \frac{k}{1-k}=\frac{e^{-0{,}5}}{1-e^{-0{,}5}}\approx 1{,}542.
Regra de parada que vou usar (prática e suficiente para garantir |x_n-\alpha|\le 10^{-2} ):
Parar quando
\frac{k}{1-k}\,|x_n-x_{n-1}|\le 10^{-2}.
Agora aplico as iterações a partir de x_0=0{,}55. Vou calcular x_{n+1}=e^{-x_n} passo a passo, aproximando os números com 6 casas decimais (suficiente para nosso critério \,10^{-2}).

Passo 6

Cálculo das iterações:
  • x_0=0{,}55.
  • x_1=e^{-0{,}55}\approx 0{,}576949810.
    Diferença |x_1-x_0|=0{,}026949810.
  • x_2=e^{-0{,}576949810}\approx 0{,}561599000 (aprox.).
    Diferença |x_2-x_1|\approx 0{,}015350810.
    Estimativa de erro: \dfrac{k}{1-k}|x_2-x_1|\approx 1{,}542\cdot 0{,}01535081\approx 0{,}0236>0{,}01. Ainda não suficiente.
  • x_3=e^{-0{,}561599000}\approx 0{,}570297000 (aprox.).
    Diferença |x_3-x_2|\approx 0{,}008698000.
    Estimativa: 1{,}542\cdot 0{,}008698\approx 0{,}0134>0{,}01. Ainda não.
  • x_4=e^{-0{,}570297000}\approx 0{,}565336000 (aprox.).
    Diferença |x_4-x_3|\approx 0{,}004961000.
    Estimativa: 1{,}542\cdot 0{,}004961\approx 0{,}00765<0{,}01.
Como na iteração n=4 a estimativa de erro dá |x_4-\alpha|\le 0{,}00765<10^{-2}, alcançamos o critério pedido. Portanto podemos aceitar x_4 como aproximação da raiz com erro menor que 10^{-2}.
Comentário prático: a sequência mostra oscilação amortecida em torno do ponto fixo (valores: 0{,}55, 0{,}57695, 0{,}56160, 0{,}57030, 0{,}56534, …), aproximando-se de \alpha\approx 0{,}567143\ldots. Com o critério escolhido paramos em x_4 porque já garantimos o erro solicitado.

Resposta

(a) não converge ( \varphi(x)=-\ln(x) não é contracção no intervalo e não mapeia [0{,}5,0{,}6] em si).
(b) converge ( \varphi(x)=e^{-x} é contracção com k\approx e^{-0{,}5}\approx 0{,}60653<1 ).
Aproximação da raiz com erro \le 10^{-2}: x\approx 0{,}565336.

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