- Considere o problema de encontrar o zero da função
no intervalo
usando um método de ponto fixo. Analise a convergência, quando a função de iteração é dada por:
a)
b)
Aproxime a raiz dessa função pelo Método Ponto Fixo, com erro
, tomando a opção que convergente dentre as funções acima e utilize
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) analisar a convergência do método do ponto fixo para encontrar a raiz de
no intervalo
quando a função de iteração é dada por cada uma das opções abaixo; (ii) escolher a opção que converge e aproximar a raiz com erro
usando o ponto inicial
.
Informações dadas e pedidos explícitos:
Funções de iteração fornecidas:
a) .
b) .
a)
b)
Vou primeiro analisar convergência para cada
no intervalo dado; depois aplicar o método ponto fixo (iterações) com a opção que converge até garantir erro
.
Passo 2
Conceito-chave (didático e simples): para que a iteração de ponto fixo
convirja para um ponto fixo
dentro de um intervalo, é muito útil (condição suficiente) que:
-
seja uma função que mapeie o intervalo no próprio intervalo (ou pelo menos contenha o ponto fixo e as iterações iniciadas em fiquem no intervalo); e - exista uma constante
tal que para todo no intervalo — isto é, é uma contracção com constante . Se isso vale, a convergência é garantida e é linear com razão ao redor de .
Explicação das variáveis nas fórmulas:
é a derivada de
;
é a constante que limita
;
é a solução de
, ou seja, a raiz procurada de
aqui.
Agora aplico isso às duas
.
Passo 3
Análise para a alternativa (a):
.
- Verifico imagem nos extremos do intervalo (estou pegando esses valores do enunciado do intervalo
):
Esse valor é maior que
. Portanto
não mapeia todo o intervalo
nele mesmo — já temos um sinal de problema (as iterações podem sair do intervalo).
- Derivada:
No intervalo dado,
não é uma contracção aí; isso indica divergência ou comportamento oscilante — não se satisfaz a condição suficiente para convergência. Conclusão: a) não converge (não é adequada).)
Passo 4
Análise para a alternativa (b):
.
- Derivada:
logo
No intervalo
temos
portanto podemos tomar a constante
Isto mostra que
é uma contracção (em módulo da derivada) no intervalo — condição favorável.
Observação sobre mapeamento do intervalo:
(ligeiramente maior que
), então tecnicamente
não manda exatamente todo
em si. Porém o ponto fixo
da equação
satisfaz
(fica dentro do intervalo) e a derivada em torno desse ponto tem módulo menor que 1, o que garante que, se começarmos em
, as iterações permanecem próximas e convergem ao ponto fixo — e você verá nas iterações que
ficam dentro de
exceto por uma leve ultrapassagem em extremidade baixa que não impede a convergência. Por isso escolhemos (b) como a opção que converge na prática para o ponto inicial dado.
Conclusão: (b) converge (é a escolha adequada); (a) não converge.
Passo 5
Fórmula de controle do erro (didática): se
é contracção com constante
e
, então vale a estimativa prática útil
onde
é o ponto fixo. Esta desigualdade é derivada somando a série geométrica que aparece quando se relaciona
com diferenças sucessivas; é muito útil porque nos permite controlar o erro real
usando apenas a diferença entre duas iterações consecutivas, que computamos diretamente.
Aqui, para
tomamos
Regra de parada que vou usar (prática e suficiente para garantir
):
Parar quando
Parar quando
Agora aplico as iterações a partir de
. Vou calcular
passo a passo, aproximando os números com 6 casas decimais (suficiente para nosso critério
).
Passo 6
Cálculo das iterações:
-
. -
.
Diferença. -
(aprox.).
Diferença.
Estimativa de erro:. Ainda não suficiente. -
(aprox.).
Diferença.
Estimativa:. Ainda não. -
(aprox.).
Diferença.
Estimativa:.
Como na iteração
a estimativa de erro dá
, alcançamos o critério pedido. Portanto podemos aceitar
como aproximação da raiz com erro menor que
.
Comentário prático: a sequência mostra oscilação amortecida em torno do ponto fixo (valores:
,
,
,
,
, …), aproximando-se de
. Com o critério escolhido paramos em
porque já garantimos o erro solicitado.
Resposta
(a) não converge (
não é contracção no intervalo e não mapeia
em si).
(b) converge ( é contracção com
).
Aproximação da raiz com erro :
.
(b) converge (
Aproximação da raiz com erro