Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do
ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte para o número complexo dado:
- Fazer o gráfico do número complexo
no plano complexo. - Calcular a parte real
e a parte imaginária desse número. - Calcular o módulo (valor absoluto)
. - Determinar um valor do ângulo (argumento)
. - Encontrar o complexo conjugado e também fazer o gráfico dele.
Informações fornecidas: o número complexo é
. Não vou resolver nada neste passo, apenas listei o que é pedido.
Passo 2
Como a parte teórica é importante, vamos revisar como representar um número complexo no plano e as fórmulas que vamos usar (rápido e mastigado):
- Um número complexo tem a forma geral
, onde é a parte real e é a parte imaginária. No plano complexo, é a coordenada horizontal (eixo real) e é a coordenada vertical (eixo imaginário).\n - O módulo (distância da origem até o ponto) é dado por
Aqui
significa
ao quadrado e
significa
ao quadrado.\n
- O argumento
é o ângulo que o vetor do ponto faz com o eixo real positivo. Uma fórmula comum é
mas atenção:
sozinho só dá um ângulo correto quando sabemos em qual quadrante o ponto está. Se
e
(segundo quadrante), devemos adicionar
ao valor principal de
(ou escolher a representação equivalente). Vou mostrar isso com o nosso número.\n
- O conjugado de
é . No plano, isso reflete o ponto em relação ao eixo real (mesma abscissa , simetria em ).
Passo 3
Identificar a parte real
e a parte imaginária
do número dado. Primeiro escrevemos o número na forma padrão
:
Agora leio as coordenadas:
- A parte real é
. - A parte imaginária é
.
Explicando por que: escrevemos sempre na forma
. O termo
é o
e o termo
indica que
.
Passo 4
Calcular o módulo
com a fórmula
. Substituindo
e
:
Expliquei passo a passo: primeiro elevo cada coordenada ao quadrado, somo, depois aplico raiz quadrada. Simplifiquei
para
.
Passo 5
Determinar um valor do ângulo
. Usamos a fórmula básica
, mas com cuidado do quadrante.
- Primeiro calcule
. -
dá um ângulo igual a (ou ), mas esse resultado corresponde ao quarto quadrante (onde , ) — não é o nosso caso. - Nosso ponto tem
(negativo) e (positivo), ou seja, está no segundo quadrante. No segundo quadrante o ângulo principal deve ficar entre e . Para ajustar, adicionamos ao valor de quando necessário, ou tomamos a referência correta: o ângulo que corresponde ao declive no segundo quadrante é
Em graus,
.
Observação intuitiva: o ponto
faz 135 graus medidos a partir do eixo real positivo, porque é simétrico do ponto
que faria 45 graus, mas espelhado sobre o eixo vertical.
Passo 6
Calcular o conjugado e suas propriedades.
- O conjugado de
é
- As coordenadas do conjugado são
. - O módulo de
é o mesmo que o de : . - O argumento de
está no terceiro quadrante (pois e ). Um valor para o argumento é (ou equivalente , que é o mesmo ângulo mod ). Em graus, isso é ou .
Passo 7
Instruções práticas para fazer o gráfico (como pediram “faça o gráfico”): vou te dizer passo a passo como desenhar no papel sem problema, e ainda dou um desenho simbólico em ASCII para você visualizar.
Como desenhar no papel:
- Faça duas retas perpendiculares: a horizontal é o eixo real (marque números positivos à direita, negativos à esquerda) e a vertical é o eixo imaginário (positivos para cima, negativos para baixo).
- Para
: - Vá para a abscissa
(duas unidades à esquerda do zero). - A partir daí suba
unidades (porque ). - Marque o ponto e desenhe um vetor do origem
até esse ponto. Esse é .
- Vá para a abscissa
- Para
: - Vá para
(duas unidades à esquerda) e desça unidades (porque ). - Marque o ponto e desenhe o vetor do origem até ele. Esse é o conjugado.
- Vá para
- Opcional: escreva junto aos pontos as coordenadas
e , e desenhe linhas tracejadas horizontais para mostrar a simetria em relação ao eixo real.
Desenho ASCII (apenas simbólico, veja no papel que fica melhor):
Im
^
3 | .( -2,3 )
2 | z( -2,2 )
1 |
----+---------------→ Re
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1 |
-2 | conj( -2,-2 )
-3 |
Nesse ASCII: o ponto de cima é
(aquele é
) e o de baixo
é
. No desenho real coloque eixos mais precisos e as unidades bem marcadas.
Passo 8
Reforço final e incentivo: resumindo os cálculos passo a passo você consegue reproduzir isso na prova rapidinho: identificar
e
, aplicar
e usar atenção com o quadrante ao calcular
. Vai dar certo — você já fez o mais difícil que é entender o raciocínio.