Faça o grafico dos seguintes números no plano complexo. Para cada número, calcule o valor numérico da sua parte real x , sua parte imaginária y , seu módulo ou valor absoluto r , e um valor do \theta ângulo. Encontre e faça o gráfico do complexo conjugado de cada número.
2 i-2

Passo 1

O enunciado pede o seguinte para o número complexo dado:
  • Fazer o gráfico do número complexo \,2i-2\, no plano complexo.
  • Calcular a parte real x e a parte imaginária y desse número.
  • Calcular o módulo (valor absoluto) r.
  • Determinar um valor do ângulo (argumento) \theta.
  • Encontrar o complexo conjugado e também fazer o gráfico dele.
Informações fornecidas: o número complexo é \,2i-2\,. Não vou resolver nada neste passo, apenas listei o que é pedido.

Passo 2

Como a parte teórica é importante, vamos revisar como representar um número complexo no plano e as fórmulas que vamos usar (rápido e mastigado):
  • Um número complexo tem a forma geral \,z = x + i y\,, onde \,x\in\mathbb{R}\, é a parte real e \,y\in\mathbb{R}\, é a parte imaginária. No plano complexo, x é a coordenada horizontal (eixo real) e y é a coordenada vertical (eixo imaginário).\n
  • O módulo (distância da origem até o ponto) é dado por
r = |z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}.
Aqui \,x^{2} significa x ao quadrado e \,y^{2} significa y ao quadrado.\n
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor do ponto z faz com o eixo real positivo. Uma fórmula comum é
\theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
mas atenção: \arctan sozinho só dá um ângulo correto quando sabemos em qual quadrante o ponto está. Se x<0 e y>0 (segundo quadrante), devemos adicionar \pi ao valor principal de \arctan (ou escolher a representação equivalente). Vou mostrar isso com o nosso número.\n
  • O conjugado de \,z = x + iy\, é \,\overline{z} = x - i y\,. No plano, isso reflete o ponto em relação ao eixo real (mesma abscissa x, simetria em y).

Passo 3

Identificar a parte real x e a parte imaginária y do número dado. Primeiro escrevemos o número na forma padrão x+iy:
2i - 2 = -2 + 2i.
Agora leio as coordenadas:
  • A parte real é \,x = -2\,.
  • A parte imaginária é \,y = 2\,.
Explicando por que: escrevemos sempre na forma x+iy. O termo -2 é o x e o termo 2i indica que y=2.

Passo 4

Calcular o módulo \,r = |z|\, com a fórmula \,r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,. Substituindo \,x=-2\, e \,y=2\,:
r = \sqrt{(-2)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Expliquei passo a passo: primeiro elevo cada coordenada ao quadrado, somo, depois aplico raiz quadrada. Simplifiquei \sqrt{8} para 2\sqrt{2}.

Passo 5

Determinar um valor do ângulo \theta. Usamos a fórmula básica \theta = \arctan\!\left(\frac{y}{x}\right), mas com cuidado do quadrante.
  • Primeiro calcule \frac{y}{x} = \frac{2}{-2} = -1.
  • \arctan(-1) dá um ângulo igual a -\tfrac{\pi}{4} (ou -45^\circ), mas esse resultado corresponde ao quarto quadrante (onde x>0, y<0) — não é o nosso caso.
  • Nosso ponto tem x=-2 (negativo) e y=2 (positivo), ou seja, está no segundo quadrante. No segundo quadrante o ângulo principal deve ficar entre \tfrac{\pi}{2} e \pi. Para ajustar, adicionamos \pi ao valor de \arctan quando necessário, ou tomamos a referência correta: o ângulo que corresponde ao declive -1 no segundo quadrante é
\theta = \pi + \left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{3\pi}{4}.
Em graus, \theta = 135^\circ.
Observação intuitiva: o ponto (-2,2) faz 135 graus medidos a partir do eixo real positivo, porque é simétrico do ponto (2,2) que faria 45 graus, mas espelhado sobre o eixo vertical.

Passo 6

Calcular o conjugado e suas propriedades.
  • O conjugado de \,z=-2+2i\, é
\overline{z} = -2 - 2i.
  • As coordenadas do conjugado são (x,y) = (-2,-2).
  • O módulo de \overline{z} é o mesmo que o de z: |\overline{z}| = 2\sqrt{2}.
  • O argumento de \overline{z} está no terceiro quadrante (pois x<0 e y<0). Um valor para o argumento é \,-\tfrac{3\pi}{4}\, (ou equivalente \tfrac{5\pi}{4}, que é o mesmo ângulo mod 2\pi). Em graus, isso é -135^\circ ou 225^\circ.

Passo 7

Instruções práticas para fazer o gráfico (como pediram “faça o gráfico”): vou te dizer passo a passo como desenhar no papel sem problema, e ainda dou um desenho simbólico em ASCII para você visualizar.
Como desenhar no papel:
  1. Faça duas retas perpendiculares: a horizontal é o eixo real (marque números positivos à direita, negativos à esquerda) e a vertical é o eixo imaginário (positivos para cima, negativos para baixo).
  2. Para \,z=-2+2i\,:
    • Vá para a abscissa x=-2 (duas unidades à esquerda do zero).
    • A partir daí suba 2 unidades (porque y=2).
    • Marque o ponto e desenhe um vetor do origem (0,0) até esse ponto. Esse é \,z\,.
  3. Para \,\overline{z}=-2-2i\,:
    • Vá para x=-2 (duas unidades à esquerda) e desça 2 unidades (porque y=-2).
    • Marque o ponto e desenhe o vetor do origem até ele. Esse é o conjugado.
  4. Opcional: escreva junto aos pontos as coordenadas (-2,2) e (-2,-2), e desenhe linhas tracejadas horizontais para mostrar a simetria em relação ao eixo real.
Desenho ASCII (apenas simbólico, veja no papel que fica melhor):
   Im
    ^
  3 |         .( -2,3 )
  2 |    z( -2,2 )
  1 |
----+---------------→ Re
 -3 -2 -1 0 1 2 3
  -1 |
  -2 |  conj( -2,-2 )
  -3 |
Nesse ASCII: o ponto de cima é (-2,2) (aquele é z) e o de baixo (-2,-2) é \overline{z}. No desenho real coloque eixos mais precisos e as unidades bem marcadas.

Passo 8

Reforço final e incentivo: resumindo os cálculos passo a passo você consegue reproduzir isso na prova rapidinho: identificar x e y, aplicar r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e usar atenção com o quadrante ao calcular \theta. Vai dar certo — você já fez o mais difícil que é entender o raciocínio.

Resposta

x=-2
y=2
r=2\sqrt{2}
\theta=\tfrac{3\pi}{4} (ou 135^\circ)
\overline{z}=-2-2i

Exercícios relacionados