Resolver
Seja y^{\prime}+18 y=e^{x} \operatorname{com} y(0)=3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
y'+18y=e^{x}
com a condição
y(0)=3.
O que se pede: determinar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos identificar o tipo de equação e o que cada símbolo significa (sem pular etapas): \,y é a função desconhecida de x que queremos achar; y' é a derivada de \,y em relação a x; o termo 18y é proporcional a y e e^{x} é o termo fonte conhecido. Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo
y'+p(x)\,y=q(x),
onde, aqui, p(x)=18 (constante) e q(x)=e^{x}.

Passo 3

Método escolhido: fator integrante. Por que? Porque a equação tem a forma linear padrão y'+p(x)y=q(x) e o fator integrante é a maneira mais direta e padronizada de resolver esse tipo. O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Isso funciona porque multiplicando a equação por \mu(x) obtemos o lado esquerdo como a derivada do produto \mu(x)y. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 4

Calcular o fator integrante. Aqui p(x)=18, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int 18\,dx\right)=\exp(18x)=e^{18x}.
Sempre escreva \mu(x) explicitamente para não se perder: \mu(x)=e^{18x}.

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{18x}. Fazendo isso temos
e^{18x}y' + 18e^{18x}y = e^{18x}e^{x}.
Agora observe a identidade: a derivada do produto e^{18x}y é
\frac{d}{dx}\big(e^{18x}y\big)=e^{18x}y' + 18e^{18x}y.
Portanto a equação multiplicada fica simplesmente
\frac{d}{dx}\big(e^{18x}y\big)=e^{18x}e^{x}.

Passo 6

Simplificar o lado direito: e^{18x}e^{x}=e^{19x}. Assim temos a equação pronta para integrar:
\frac{d}{dx}\big(e^{18x}y\big)=e^{19x}.
A ideia agora é integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 7

Integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{18x}y. No lado direito calculamos
\int e^{19x}\,dx = \frac{1}{19}e^{19x} + C,
onde C é a constante de integração. Justificativa da integral: \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax} para constante a\neq 0. Portanto obtemos
e^{18x}y = \frac{1}{19}e^{19x} + C.

Passo 8

Isolar y. Dividindo ambos os lados por e^{18x} (sempre diferente de zero), temos
y = \frac{1}{19}e^{19x} \cdot e^{-18x} + C e^{-18x}.
Simplificando e^{19x}e^{-18x}=e^{x}, obtemos a forma geral da solução:
y(x)=\frac{1}{19}e^{x} + C e^{-18x}.
Aqui C é constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.

Passo 9

Aplicar a condição inicial y(0)=3. Substituindo x=0 na solução geral:
y(0)=\frac{1}{19}e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{19} + C.
Como y(0)=3, temos
\frac{1}{19} + C = 3.
Resolver para C:
C = 3 - \frac{1}{19} = \frac{57}{19} - \frac{1}{19} = \frac{56}{19}.

Passo 10

Substituir o valor de C na solução geral e escrever a solução particular final. Assim
y(x)=\frac{1}{19}e^{x} + \frac{56}{19}e^{-18x}.
Se preferir, fatorando 1/19:
y(x)=\frac{1}{19}\bigl(e^{x}+56e^{-18x}\bigr).

Resposta

y(x)=\frac{1}{19}e^{x}+\frac{56}{19}e^{-18x}

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