Resolver
Seja
Seja
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com a condição
O que se pede: determinar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos identificar o tipo de equação e o que cada símbolo significa (sem pular etapas):
é a função desconhecida de
que queremos achar;
é a derivada de
em relação a
; o termo
é proporcional a
e
é o termo fonte conhecido. Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo
onde, aqui,
(constante) e
.
Passo 3
Método escolhido: fator integrante. Por que? Porque a equação tem a forma linear padrão
e o fator integrante é a maneira mais direta e padronizada de resolver esse tipo. O fator integrante
é definido por
Isso funciona porque multiplicando a equação por
obtemos o lado esquerdo como a derivada do produto
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 4
Calcular o fator integrante. Aqui
, então
Sempre escreva
explicitamente para não se perder:
.
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso temos
Agora observe a identidade: a derivada do produto
é
Portanto a equação multiplicada fica simplesmente
Passo 6
Simplificar o lado direito:
. Assim temos a equação pronta para integrar:
A ideia agora é integrar ambos os lados em relação a
.
Passo 7
Integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo é simplesmente
. No lado direito calculamos
onde
é a constante de integração. Justificativa da integral:
para constante
. Portanto obtemos
Passo 8
Isolar
. Dividindo ambos os lados por
(sempre diferente de zero), temos
Simplificando
, obtemos a forma geral da solução:
Aqui
é constante arbitrária que será determinada pela condição inicial.
Passo 9
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Como
, temos
Resolver para
:
Passo 10
Substituir o valor de
na solução geral e escrever a solução particular final. Assim
Se preferir, fatorando
: