Dado o conjunto de pontos (1,1),(2,4),(3,9), encontre o polinômio interpolador P(x) utilizando o método de Lagrange.

Passo 1

O enunciado dá os três pontos (1,1), (2,4) e (3,9) e pede para encontrar o polinômio interpolador P(x) usando o método de Lagrange.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
x_1 = 1,\; y_1 = 1;
x_2 = 2,\; y_2 = 4;
x_3 = 3,\; y_3 = 9.
O objetivo é construir um polinômio P(x) de grau no máximo 2 tal que P(x_i)=y_i para i=1,2,3.

Passo 2

Apresento a fórmula do interpolador de Lagrange e explico cada parte de forma didática.
A fórmula geral do polinômio interpolador de Lagrange para n pontos (x_i,y_i) é
P(x)=\sum_{i=1}^{n} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é dado por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=1\\\ j\neq i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
O que isso significa, passo a passo:
  • n é o número de pontos (aqui n=3).
  • Para cada i, L_i(x) é construído de modo que L_i(x_i)=1 e L_i(x_j)=0 para j\neq i. Isso garante que, ao somarmos y_i L_i(x), o polinômio satisfaça P(x_i)=y_i.
  • No numerador de cada fração aparece (x-x_j), que é uma função de x. No denominador aparece (x_i-x_j), que é um número (constante) calculado com os nós dados.
Agora aplicamos essa fórmula aos nossos três pontos.

Passo 3

Calculo os polinômios base L_1(x), L_2(x) e L_3(x) usando os nós x_1=1, x_2=2, x_3=3.
Para i=1:
L_1(x)=\frac{(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_2)(x_1-x_3)}=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}.
Calculo o denominador:
(1-2)(1-3)=(-1)(-2)=2.
Logo
L_1(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{2}.
Para i=2:
L_2(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_1)(x_2-x_3)}=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}.
Calculo o denominador:
(2-1)(2-3)=(1)(-1)=-1.
Logo
L_2(x)=-\,(x-1)(x-3).
Para i=3:
L_3(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_1)(x_3-x_2)}=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}.
Calculo o denominador:
(3-1)(3-2)=(2)(1)=2.
Logo
L_3(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{2}.

Passo 4

Expando e simplifico cada L_i(x) para ficar mais fácil somar depois.
Para L_1(x):
(x-2)(x-3)=x^2-5x+6,
portanto
L_1(x)=\frac{x^2-5x+6}{2}=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+3.
Para L_2(x):
(x-1)(x-3)=x^2-4x+3,
então
L_2(x)=-(x^2-4x+3)=-x^2+4x-3.
Para L_3(x):
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2,
assim
L_3(x)=\frac{x^2-3x+2}{2}=\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1.

Passo 5

Agora construo o polinômio P(x)=y_1L_1(x)+y_2L_2(x)+y_3L_3(x) substituindo y_1=1, y_2=4, y_3=9.
Calculo termo a termo:
y_1L_1(x)=1\cdot L_1(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{2}x+3.
y_2L_2(x)=4\cdot L_2(x)=4(-x^2+4x-3)=-4x^2+16x-12.
y_3L_3(x)=9\cdot L_3(x)=9\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{3}{2}x+1\right)=\frac{9}{2}x^2-\frac{27}{2}x+9.

Passo 6

Somando os três termos para obter P(x). Vou somar coeficientes de x^2, de x e os termos constantes separadamente.
Coeficiente de x^2:
\frac{1}{2} + (-4) + \frac{9}{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} -4 = \frac{10}{2} -4 =5-4=1.
Coeficiente de x:
-\frac{5}{2} + 16 - \frac{27}{2} = \left(-\frac{5}{2}-\frac{27}{2}\right) +16 = -\frac{32}{2}+16 = -16+16=0.
Termo constante:
3 + (-12) + 9 = 0.
Portanto
P(x)=1\cdot x^2 + 0\cdot x + 0 = x^2.
Como checagem rápida: P(1)=1, P(2)=4 e P(3)=9, ou seja, o polinômio realmente interpola os três pontos.

Resposta

P(x)=x^2

Exercícios relacionados