Dado o conjunto de pontos
, encontre o polinômio interpolador
utilizando o método de Lagrange.
Passo 1
O enunciado dá os três pontos
,
e
e pede para encontrar o polinômio interpolador
usando o método de Lagrange.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
O objetivo é construir um polinômio
de grau no máximo
tal que
para
.
Passo 2
Apresento a fórmula do interpolador de Lagrange e explico cada parte de forma didática.
A fórmula geral do polinômio interpolador de Lagrange para
pontos
é
onde cada polinômio base
é dado por
O que isso significa, passo a passo:
-
é o número de pontos (aqui ). - Para cada
, é construído de modo que e para . Isso garante que, ao somarmos , o polinômio satisfaça . - No numerador de cada fração aparece
, que é uma função de . No denominador aparece , que é um número (constante) calculado com os nós dados.
Agora aplicamos essa fórmula aos nossos três pontos.
Passo 3
Calculo os polinômios base
,
e
usando os nós
,
,
.
Para
:
Calculo o denominador:
Logo
Para
:
Calculo o denominador:
Logo
Para
:
Calculo o denominador:
Logo
Passo 4
Expando e simplifico cada
para ficar mais fácil somar depois.
Para
:
portanto
Para
:
então
Para
:
assim
Passo 5
Agora construo o polinômio
substituindo
,
,
.
Calculo termo a termo:
Passo 6
Somando os três termos para obter
. Vou somar coeficientes de
, de
e os termos constantes separadamente.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Portanto
Como checagem rápida:
,
e
, ou seja, o polinômio realmente interpola os três pontos.