Determine o polinômio interpolador quadrático que passa pelos pontos
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o polinômio interpolador quadrático que passa pelos pontos
,
e
.
Informações dadas:
- Há três pontos:
, e . - Queremos um polinômio de grau 2 (quadrático) que passe por esses três pontos.
Passo 2
Escolhemos representar o polinômio quadrático geral com coeficientes desconhecidos:
onde
são números reais que precisamos determinar. Aqui:
-
é a variável; -
é o coeficiente do termo quadrático ; -
é o coeficiente do termo linear ; -
é o termo constante (valor de em ).
Passo 3
Como o polinômio deve passar pelos pontos dados, substituímos as coordenadas em
para obter um sistema de três equações:
Para o ponto
:
ou seja
Para o ponto
:
substituindo
dá
Para o ponto
:
substituindo
dá
Passo 4
Vamos simplificar as duas últimas equações. Da equação de
temos:
Da equação de
temos:
Podemos dividir a segunda por
para deixar mais simples:
Agora temos o sistema linear em
e
:
Passo 5
Resolvendo o sistema pelo método de eliminar uma variável: subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar
:
No lado esquerdo
. No lado direito
. Portanto
Passo 6
Com
voltamos em
para achar
:
E já tínhamos
do Passo 3. Assim os coeficientes são
,
,
.
Passo 7
Montamos o polinômio com esses coeficientes:
Vamos checar rapidamente que ele passa pelos três pontos (verificação útil na prova):
- Para
: — corresponde a . - Para
: — corresponde a . - Para
: — corresponde a .
Tudo confere.