Determine o polinômio interpolador quadrático que passa pelos pontos (0,1),(1,0),(2,3).

Passo 1

O enunciado pede: determinar o polinômio interpolador quadrático que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (2,3).
Informações dadas:
  • Há três pontos: (0,1), (1,0) e (2,3).
  • Queremos um polinômio de grau 2 (quadrático) que passe por esses três pontos.

Passo 2

Escolhemos representar o polinômio quadrático geral com coeficientes desconhecidos: p(x)=ax^{2}+bx+c,
onde \;a,b,c são números reais que precisamos determinar. Aqui:
  • \;x é a variável;
  • \;a é o coeficiente do termo quadrático \;x^{2};
  • \;b é o coeficiente do termo linear \;x;
  • \;c é o termo constante (valor de p em x=0).

Passo 3

Como o polinômio deve passar pelos pontos dados, substituímos as coordenadas em \;p(x)=ax^{2}+bx+c para obter um sistema de três equações:
Para o ponto (0,1): p(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=1,
ou seja c=1.
Para o ponto (1,0): p(1)=a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0,
substituindo c a+b+1=0.
Para o ponto (2,3): p(2)=a\cdot 2^{2}+b\cdot 2+c=3,
substituindo c 4a+2b+1=3.

Passo 4

Vamos simplificar as duas últimas equações. Da equação de (1,0) temos: a+b+1=0\quad\Rightarrow\quad a+b=-1.
Da equação de (2,3) temos: 4a+2b+1=3\quad\Rightarrow\quad 4a+2b=2.
Podemos dividir a segunda por 2 para deixar mais simples: 2a+b=1.
Agora temos o sistema linear em \;a e \;b:
\begin{cases} a+b=-1,\\[4pt] 2a+b=1. \end{cases}]

Passo 5

Resolvendo o sistema pelo método de eliminar uma variável: subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar b:
(2a+b)-(a+b)=1-(-1).
No lado esquerdo (2a+b)-(a+b)=2a+b-a-b=a. No lado direito 1-(-1)=2. Portanto a=2.

Passo 6

Com \;a=2 voltamos em \;a+b=-1 para achar \;b:
2+b=-1\quad\Rightarrow\quad b=-1-2=-3.
E já tínhamos \;c=1 do Passo 3. Assim os coeficientes são \;a=2, \;b=-3, \;c=1.

Passo 7

Montamos o polinômio com esses coeficientes:
p(x)=2x^{2}-3x+1.
Vamos checar rapidamente que ele passa pelos três pontos (verificação útil na prova):
  • Para x=0: p(0)=2\cdot 0^{2}-3\cdot 0+1=1 — corresponde a (0,1).
  • Para x=1: p(1)=2\cdot 1^{2}-3\cdot 1+1=2-3+1=0 — corresponde a (1,0).
  • Para x=2: p(2)=2\cdot 4-3\cdot 2+1=8-6+1=3 — corresponde a (2,3).
Tudo confere.

Resposta

p(x)=2x^{2}-3x+1

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