Considere o processo de calcular a menor raíz positiva
da equação do terceiro grau
pelo Método Iterativo Linear (ou Ponto Fixo). Analise quatro seguintes assertivas a seguir.
I. As iteradas
, certamente convergem para
qualquer que seja o chute inicial
.
II. As iteradas
, certamente convergem para
. qualquer que seja o chute inicial
.
III. As iteradas
, certamente convergem para
, qualquer que seja o chute inicial
.
IV. Dentre as três funçōes de iteração apresentadas,
e
, a que fará uma convergência mais rápida será
.
É correto o que se afirma em:
(A) II e IV
© I eIV
(E) II
(B) III e IV
(D) 1
(F) III
I. As iteradas
II. As iteradas
III. As iteradas
IV. Dentre as três funçōes de iteração apresentadas,
É correto o que se afirma em:
(A) II e IV
© I eIV
(E) II
(B) III e IV
(D) 1
(F) III
Passo 1
Beleza, manda ver no enunciado: a gente tem a equação
e quer achar a menor raiz positiva
usando Método do Ponto Fixo. O conteúdo aqui é Iteração Linear (Ponto Fixo) e contrato de funções: a gente vai precisar
- encontrar
(aprox. ou via fórmula trigonométrica), - montar as funções
, - analisar se elas mandam o intervalo em si mesmas e se
, - comparar
pra ver qual converge mais rápido.
Passo 2
Primeiro, vamos achar
. A equação é clássica: se você põe
, dá
então
As soluções dão
A menor raiz positiva é
Passo 3
Análise da função
:
- Para
, . - Derivada:
mas logo após a primeira iteração
cai em
onde
.
Isso garante convergência global para qualquer .
Logo, a afirmação I é verdadeira.
Isso garante convergência global para qualquer
Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 4
Análise de
:
- Se
, então e fica em , tira do intervalo quando . - Não garante nem mapeamento em
.
Portanto II é falsa.
Passo 5
Análise de
:
- Só faz sentido pra
e ainda exige . - Em
gera zero, depois sai do domínio.
Então não há convergência global pra todo.
A afirmação III é falsa.
Passo 6
Velocidade de convergência: medimos por
.
- Pra
: . - As outras nem convergem direito, mas seus
seriam ≥1.
Logo, entre as três, quem converge (só) é também a mais rápida. A afirmação IV é verdadeira.
Resposta
As assertivas corretas são I e IV, ou seja, alternativa ©.