Considere o processo de calcular a menor raíz positiva p da equação do terceiro grau x^3-3 x+1=0 pelo Método Iterativo Linear (ou Ponto Fixo). Analise quatro seguintes assertivas a seguir.
I. As iteradas pn+1=g1(pn)=pn^3+13, n >= 1, certamente convergem para p , qualquer que seja o chute inicial 0 <= p0 <= 1.
II. As iteradas pn+1=g2(pn)=raiz[3]3 pn-1, n >= 1, certamente convergem para p. qualquer que seja o chute inicial 0 <= p0 <= 1.
III. As iteradas pn+1=g3(pn)=raiz3-1pn, n >= 1, certamente convergem para p, qualquer que seja o chute inicial 0 <= p0 <= 1.
IV. Dentre as três funçōes de iteração apresentadas, g1, g2 e g3, a que fará uma convergência mais rápida será g1(x).
É correto o que se afirma em:
(A) II e IV
© I eIV
(E) II
(B) III e IV
(D) 1
(F) III

Passo 1

Beleza, manda ver no enunciado: a gente tem a equação
x^3 - 3x + 1 = 0
e quer achar a menor raiz positiva usando Método do Ponto Fixo. O conteúdo aqui é Iteração Linear (Ponto Fixo) e contrato de funções: a gente vai precisar
  • encontrar (aprox. ou via fórmula trigonométrica),
  • montar as funções ,
  • analisar se elas mandam o intervalo em si mesmas e se ,
  • comparar pra ver qual converge mais rápido.

Passo 2

Primeiro, vamos achar x^3-3x = 2cos3theta,. A equação é clássica: se você põe 2cos3theta +1=0 implies cos3theta=-tfrac12, dá
theta=tfrac2pi9,,tfrac4pi9,,tfrac8pi9
então
p = 2cos!l(tfrac4pi9r)approx0,3473
As soluções dão
A menor raiz positiva é

Passo 3

Análise da função g1'(x)=x^2,então em [0,1];|!g1'(x)|<=1, :
  1. Para , .
  2. Derivada:
ã
mas logo após a primeira iteração cai em onde .
Isso garante convergência global para qualquer .
Logo, a afirmação I é verdadeira.

Passo 4

Análise de :
  • Se , então e fica em , tira do intervalo quando .
  • Não garante nem mapeamento em .
    Portanto II é falsa.

Passo 5

Análise de :
  • Só faz sentido pra e ainda exige .
  • Em gera zero, depois sai do domínio.
    Então não há convergência global pra todo .
    A afirmação III é falsa.

Passo 6

Velocidade de convergência: medimos por .
  • Pra : .
  • As outras nem convergem direito, mas seus seriam ≥1.
    Logo, entre as três, quem converge (só ) é também a mais rápida. A afirmação IV é verdadeira.

Resposta

As assertivas corretas são I e IV, ou seja, alternativa ©.

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