Considere a função
e os pontos
e
.
Monte o sistema de eqs. lineares que determina os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2.
Monte o sistema de eqs. lineares que determina os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = e^{x} + \sin(x) $ e três pontos: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = 2 $. O objetivo é montar um sistema de equações lineares para encontrar os coeficientes de um polinômio interpolador de grau 2 que passa por esses pontos. Isso envolve um pouco de álgebra e conhecimento sobre interpolação polinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
onde $ a $, $ b $ e $ c $ são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Como o polinômio deve passar pelos pontos $ (x_0, f(x_0)) $, $ (x_1, f(x_1)) $ e $ (x_2, f(x_2)) $, substituímos cada $ x_i $ na equação do polinômio e igualamos a $ f(x_i) $.
Passo 4
Vamos fazer isso para cada ponto:
- Para $ x_0 = 0 $:
Então, temos:
- Para $ x_1 = 1 $:
Isso nos dá:
- Para $ x_2 = 2 $:
Então:
Passo 5
Agora, juntando todas essas equações, formamos o sistema de equações lineares:
Resposta
O sistema de equações lineares que determina os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2 é: