Considere a função f(x)=e^x+sin (x) e os pontos x0=0, x1=1 e x2=2.
Monte o sistema de eqs. lineares que determina os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = e^{x} + \sin(x) $ e três pontos: $ x_0 = 0 $, $ x_1 = 1 $ e $ x_2 = 2 $. O objetivo é montar um sistema de equações lineares para encontrar os coeficientes de um polinômio interpolador de grau 2 que passa por esses pontos. Isso envolve um pouco de álgebra e conhecimento sobre interpolação polinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
P(x) = a x^2 + b x + c
onde $ a $, $ b $ e $ c $ são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Como o polinômio deve passar pelos pontos $ (x_0, f(x_0)) $, $ (x_1, f(x_1)) $ e $ (x_2, f(x_2)) $, substituímos cada $ x_i $ na equação do polinômio e igualamos a $ f(x_i) $.

Passo 4

Vamos fazer isso para cada ponto:
  1. Para $ x_0 = 0 $:
x0 = 0
Então, temos:
P(0) = a cdot 0^2 + b cdot 0 + c = c = f(0) = e^0 + sin(0) = 1 + 0 = 1
  1. Para $ x_1 = 1 $:
c = 1
Isso nos dá:
x1 = 1
  1. Para $ x_2 = 2 $:
P(1) = a cdot 1^2 + b cdot 1 + c = a + b + c = f(1) = e^1 + sin(1)
Então:
a + b + c = e + sin(1)

Passo 5

Agora, juntando todas essas equações, formamos o sistema de equações lineares:
c = 1 a + b + c = e + sin(1) 4a + 2b + c = e^2 + sin(2)

Resposta

O sistema de equações lineares que determina os coeficientes do polinômio interpolador de grau 2 é:
c = 1 a + b + c = e + sin(1) 4a + 2b + c = e^2 + sin(2)

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