Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: f(x)=\frac{1}{2}, g(x)=\sin (n x) onde n \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar entre duas funções, com os dados:
  • A definição do produto escalar é \langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx.
  • As funções são f(x)=\dfrac{1}{2} e g(x)=\sin(nx), com n\neq 0.
O que se quer: calcular o valor numérico de \langle f\mid g\rangle usando as informações acima.

Passo 2

Entendendo f^{*}(x). Aqui f(x)=\dfrac{1}{2} é uma função real e constante, portanto o conjugado complexo é igual à própria função:
f^{*}(x)=\frac{1}{2}.
Explicação curta: o conjugado complexo de um número real é ele mesmo; isso vale ponto a ponto para funções reais.

Passo 3

Substituir f^{*}(x) e g(x) na definição do produto escalar e fatorar constantes para simplificar:
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\sin(nx)\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Observação didática: é sempre legal tirar constantes para fora da integral para simplificar o cálculo.

Passo 4

Avaliar \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx. Vou mostrar duas formas — escolha a que for mais rápida na prova.
Método A — simetria (mais rápido):
A função \sin(nx) é ímpar, pois \sin(-nx)=-\sin(nx). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico [-\pi,\pi] é zero, porque as áreas à esquerda e à direita se cancelam. Portanto
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=0.
Método B — antiderivada (procedimento mecânico):
A antiderivada de \sin(nx) é
\int \sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\cos(nx).
Avaliando entre -\pi e \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{1}{n}\cos(nx)\right]_{x=-\pi}^{x=\pi} =-\frac{1}{n}\cos(n\pi)+\frac{1}{n}\cos(-n\pi).
Como \cos(-n\pi)=\cos(n\pi) (cosseno é par), o resultado é zero:
-\frac{1}{n}\cos(n\pi)+\frac{1}{n}\cos(n\pi)=0.
Ambos os métodos dão zero.

Passo 5

Voltando ao produto escalar:
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{2\pi}\cdot 0 = 0.
Interpretação curta e útil para prova: o resultado zero significa que a função constante \dfrac{1}{2} é ortogonal a \sin(nx) para qualquer n\neq 0. Dica prática: sempre procure simetrias (par/ímpar) antes de calcular antiderivadas — economiza tempo.

Resposta

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