Considere o produto escalar entre duas funções
e
definido por
Calcule para:
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto escalar entre duas funções, com os dados:
- A definição do produto escalar é
- As funções são
e , com .
O que se quer: calcular o valor numérico de
usando as informações acima.
Passo 2
Entendendo
. Aqui
é uma função real e constante, portanto o conjugado complexo é igual à própria função:
Explicação curta: o conjugado complexo de um número real é ele mesmo; isso vale ponto a ponto para funções reais.
Passo 3
Substituir
e
na definição do produto escalar e fatorar constantes para simplificar:
Observação didática: é sempre legal tirar constantes para fora da integral para simplificar o cálculo.
Passo 4
Avaliar
. Vou mostrar duas formas — escolha a que for mais rápida na prova.
Método A — simetria (mais rápido):
A função é ímpar, pois
. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico
é zero, porque as áreas à esquerda e à direita se cancelam. Portanto
A função
Método B — antiderivada (procedimento mecânico):
A antiderivada de é
A antiderivada de
Avaliando entre
e
:
Como
(cosseno é par), o resultado é zero:
Ambos os métodos dão zero.
Passo 5
Voltando ao produto escalar:
Interpretação curta e útil para prova: o resultado zero significa que a função constante
é ortogonal a
para qualquer
. Dica prática: sempre procure simetrias (par/ímpar) antes de calcular antiderivadas — economiza tempo.
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