Observação sobre \sin(2n\pi): quando n é um inteiro (caso típico em séries de Fourier, e normalmente o contexto do enunciado assume n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}), tem-se \sin(2n\pi)=0. Então
Com isso o segundo termo some e sobra apenas o primeiro termo já calculado.
Passo 7
Concluindo, para n\neq 0 inteiro,
\langle \sin(nx)\mid \sin(nx)\rangle = 1.
Intuitivamente: o seno \sin(nx) tem energia (norma ao quadrado) igual a 1 com respeito ao produto escalar dado — isso é a normalização usual das funções seno na base trigonométrica em [-\pi,\pi].