Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: f(x)=\sin (n x), g(x)=\sin (n x) onde n \neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá o produto escalar
\langle f\mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx
e pede para calcular esse produto escalar para as funções
f(x)=\sin(nx),\qquad g(x)=\sin(nx),
com n\neq 0. Ou seja, devemos calcular
\langle \sin(nx)\mid \sin(nx)\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin^{2}(nx)\,dx.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade trigonométrica útil para simplificar \sin^{2}. A fórmula do cosseno do ângulo duplo é
\cos(2a)=1-2\sin^{2}(a).
Isolando \sin^{2}(a) obtemos
\sin^{2}(a)=\frac{1-\cos(2a)}{2}.
Aqui a é uma variável qualquer; aplicando com a=nx obtemos
\sin^{2}(nx)=\frac{1-\cos(2nx)}{2}.
Essa identidade é muito útil porque transforma um quadrado de seno em uma soma de termos mais fáceis de integrar: uma constante e um cosseno.

Passo 3

Substituindo a identidade dentro do produto escalar:
\langle \sin(nx)\mid \sin(nx)\rangle =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1-\cos(2nx)}{2}\,dx.
Podemos tirar constantes para fora da integral:
\langle \sin(nx)\mid \sin(nx)\rangle =\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\left(\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx-\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx\right).

Passo 4

Calculo do primeiro termo:
\int_{-\pi}^{\pi}1\,dx = 2\pi.
Logo a contribuição desse termo é
\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\pi = 1.
Então já temos que
\langle \sin(nx)\mid \sin(nx)\rangle = 1 - \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx.

Passo 5

Agora vamos calcular a integral do cosseno. A primitiva de \cos(2nx) em relação a x é
\int \cos(2nx)\,dx = \frac{1}{2n}\sin(2nx),
pois derivando \frac{1}{2n}\sin(2nx) obtemos \cos(2nx). Avaliando entre -\pi e \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx = \left.\frac{1}{2n}\sin(2nx)\right|_{x=-\pi}^{x=\pi} = \frac{1}{2n}\big(\sin(2n\pi)-\sin(-2n\pi)\big).

Passo 6

Observação sobre \sin(2n\pi): quando n é um inteiro (caso típico em séries de Fourier, e normalmente o contexto do enunciado assume n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}), tem-se \sin(2n\pi)=0. Então
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(2nx)\,dx = 0 \quad\text{(para \(n\) inteiro)}.
Com isso o segundo termo some e sobra apenas o primeiro termo já calculado.

Passo 7

Concluindo, para n\neq 0 inteiro,
\langle \sin(nx)\mid \sin(nx)\rangle = 1.
Intuitivamente: o seno \sin(nx) tem energia (norma ao quadrado) igual a 1 com respeito ao produto escalar dado — isso é a normalização usual das funções seno na base trigonométrica em [-\pi,\pi].

Resposta

1

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