Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[n]{n}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}
converge ou diverge. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • O termo geral da série é \dfrac{1}{\sqrt[n]{n}}.
  • Podemos reescrever esse termo como
a_n=\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=n^{-1/n}.
O objetivo é decidir se a soma dos a_n (para n=1,2,3,\dots) converge ou não.

Passo 2

Primeiro passo natural: analisar o comportamento do termo geral a_n quando n\to\infty. Uma condição necessária para que uma série \sum a_n convirja é que os termos a_n tendam a zero. Vou calcular
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} n^{-1/n}.
Para avaliar esse tipo de limite é útil trabalhar com logaritmo natural. Definindo a_n=n^{-1/n}, temos
\ln(a_n)=\ln\bigl(n^{-1/n}\bigr)=-\frac{\ln n}{n}.

Passo 3

Agora calculo o limite do logaritmo:
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=\lim_{n\to\infty}\left(-\frac{\ln n}{n}\right).
Conhecemos a regra (que pode ser justificada por L’Hôpital considerando a função real t\mapsto\frac{\ln t}{t}) de que
\lim_{t\to\infty}\frac{\ln t}{t}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\ln(a_n)=0.
Como a função exponencial é contínua, podemos voltar do logaritmo para a_n:
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} e^{\ln(a_n)}=e^{0}=1.
Ou seja, os termos a_n tendem a 1, não a 0.

Passo 4

Agora uso o teste simples e essencial (teste do termo geral): se \sum a_n converge então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui encontramos \lim_{n\to\infty} a_n=1\neq0. Logo a condição necessária para convergência falha, e a série não pode convergir.
Explicação rápida e intuitiva: se as somas parciais tivessem limite finito S, então as diferenças entre somas consecutivas a_{n+1}=s_{n+1}-s_n tenderiam a S-S=0. Como as diferenças (os termos) não tendem a zero, não existe esse limite S.

Resposta

A série diverge.

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