Exercício 1.12. Determine se as séries convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
converge ou diverge. As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
- O termo geral da série é
. - Podemos reescrever esse termo como
O objetivo é decidir se a soma dos
(para
) converge ou não.
Passo 2
Primeiro passo natural: analisar o comportamento do termo geral
quando
. Uma condição necessária para que uma série
convirja é que os termos
tendam a zero. Vou calcular
Para avaliar esse tipo de limite é útil trabalhar com logaritmo natural. Definindo
, temos
Passo 3
Agora calculo o limite do logaritmo:
Conhecemos a regra (que pode ser justificada por L’Hôpital considerando a função real
) de que
Portanto
Como a função exponencial é contínua, podemos voltar do logaritmo para
:
Ou seja, os termos
tendem a
, não a
.
Passo 4
Agora uso o teste simples e essencial (teste do termo geral): se
converge então necessariamente
. Aqui encontramos
. Logo a condição necessária para convergência falha, e a série não pode convergir.
Explicação rápida e intuitiva: se as somas parciais tivessem limite finito
, então as diferenças entre somas consecutivas
tenderiam a
. Como as diferenças (os termos) não tendem a zero, não existe esse limite
.
Resposta
A série diverge.