Considere o produto escalar entre duas funções f(x) e g(x) definido por
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x) g(x) d x
Calcule para: f(x)=\cos (n x), g(x)=\sin (n x) onde n \neq 0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Temos o produto escalar
\langle f \mid g\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^{*}(x)\,g(x)\,dx.
As funções dadas são f(x)=\cos(nx) e g(x)=\sin(nx), com n\neq 0.
A tarefa é calcular \langle \cos(nx)\mid \sin(nx)\rangle.

Passo 2

Primeiro, lembramos o que é f^{*}(x): é o conjugado complexo de f(x). Para funções reais, como \cos(nx) e \sin(nx), o conjugado é a própria função. Logo
\langle \cos(nx)\mid \sin(nx)\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,\sin(nx)\,dx.

Passo 3

Usamos uma identidade trigonométrica que simplifica o produto \cos\cdot\sin. A identidade é
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Tomando \theta=nx obtemos
\cos(nx)\sin(nx)=\frac{1}{2}\sin(2nx).
Essa identidade é útil porque transforma um produto em uma única função trigonométrica.

Passo 4

Substituindo a identidade na integral obtemos
\langle \cos(nx)\mid \sin(nx)\rangle=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{1}{2}\sin(2nx)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2nx)\,dx.
Agora calculamos a integral. Uma observação simples: \sin(2nx) é função ímpar (isto é, \sin(2n(-x))=-\sin(2nx)). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(2nx)\,dx=0.
Também se preferir calcular explicitamente, a primitiva de \sin(2nx) é -\dfrac{\cos(2nx)}{2n} e avaliando em -\pi e \pi dá zero porque \cos(2n\pi)=\cos(-2n\pi).

Passo 5

Com a integral valendo zero, concluímos que
\langle \cos(nx)\mid \sin(nx)\rangle=\frac{1}{2\pi}\cdot 0 = 0.
Interpretando: as funções \cos(nx) e \sin(nx) são ortogonais no intervalo [-\pi,\pi] quando n\neq 0. Isso é uma propriedade importante nas séries de Fourier — seno e cosseno da mesma frequência têm produto escalar zero.

Resposta

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