Considere o produto escalar entre duas funções
e
definido por
Calcule para:
onde
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Temos o produto escalar
Temos o produto escalar
As funções dadas são
e
, com
.
A tarefa é calcular .
A tarefa é calcular
Passo 2
Primeiro, lembramos o que é
: é o conjugado complexo de
. Para funções reais, como
e
, o conjugado é a própria função. Logo
Passo 3
Usamos uma identidade trigonométrica que simplifica o produto
. A identidade é
Tomando
obtemos
Essa identidade é útil porque transforma um produto em uma única função trigonométrica.
Passo 4
Substituindo a identidade na integral obtemos
Agora calculamos a integral. Uma observação simples:
é função ímpar (isto é,
). A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero. Portanto
Também se preferir calcular explicitamente, a primitiva de
é
e avaliando em
e
dá zero porque
.
Passo 5
Com a integral valendo zero, concluímos que
Interpretando: as funções
e
são ortogonais no intervalo
quando
. Isso é uma propriedade importante nas séries de Fourier — seno e cosseno da mesma frequência têm produto escalar zero.