Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para
:
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente mostrar por indução que, para todo
,
O conteúdo aqui é prova por indução matemática. Isso envolve três coisas:
- verificar o caso base (normalmente
); - supor a fórmula válida para um
genérico (hipótese de indução); - usar essa suposição para provar que vale para
(passo indutivo).
Também vamos precisar de um pouco de álgebra básica pra simplificar expressões.
Passo 2
Caso base (
):
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como os dois dão
, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que, para algum , valha
Suponha que, para algum
Essa é nossa “chute” de que a fórmula funciona no passo
.
Passo 4
Passo indutivo (provar para
):
A gente escreve a soma até como a soma até
mais o último termo:
A gente escreve a soma até
Pela hipótese, a parte até
é
. Então
Isso mostra exatamente que a fórmula vale para
.
Resposta
Por indução, concluímos que para todo