Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para n >= 1:
1.2+2.3+3.4+ldots+n(n+1)=13 n(n+1)(n+2)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente mostrar por indução que, para todo 1cdot2 + 2cdot3 + 3cdot4 + cdots + n(n+1) ;=; 13,n(n+1)(n+2) ,
O conteúdo aqui é prova por indução matemática. Isso envolve três coisas:
  1. verificar o caso base (normalmente );
  2. supor a fórmula válida para um genérico (hipótese de indução);
  3. usar essa suposição para provar que vale para (passo indutivo).
    Também vamos precisar de um pouco de álgebra básica pra simplificar expressões.

Passo 2

Caso base ( 1cdot2 = 2 ):
Lado esquerdo:
13,1cdot2cdot3 = 13times6 = 2
Lado direito:
Como os dois dão , a fórmula vale para .

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que, para algum 1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) ;=; 13,n(n+1)(n+2) , valha
Essa é nossa “chute” de que a fórmula funciona no passo .

Passo 4

Passo indutivo (provar para 1cdot2 + cdots + n(n+1) + (n+1)(n+2) ):
A gente escreve a soma até &;13n(n+1)(n+2) + (n+1)(n+2) &= (n+1)(n+2)l(n3 + 1r) (fatorando ((n+1)(n+2))) &= (n+1)(n+2),n+33 (colocando tudo sobre o mesmo denominador (3)) &= 13,(n+1)(n+2)(n+3) como a soma até mais o último termo:
Pela hipótese, a parte até é . Então
Isso mostra exatamente que a fórmula vale para .

Resposta

Por indução, concluímos que para todo 1cdot2 + 2cdot3 + cdots + n(n+1) ;=; 13,n(n+1)(n+2)

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