Considere o PVI
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathrm{y} \\
\mathrm{y}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$
b) Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivesse sempre o mesmo sinal? Justifique!

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a gente comparar a solução exata do PVI
y'=y, y(0)=1,
com uma aproximação numérica (no nosso caso, o método de Euler explícito). O conteúdo é análise de erro global em EDOs e vamos precisar de:
  1. a solução exata y(t)=e^t,
  2. a fórmula de Euler yn+1=yn + h,ynimplies yn=(1+h)^n,
  3. a desigualdade básica da exponencial 1+x<= e^x, que segue da convexidade de e^x.

Passo 2

Primeiro, escrevendo a solução exata no ponto tn = n,h, temos
y(tn)=e^tn=e^n,h

Passo 3

Pelo método de Euler explícito com passo h>0, a iterada é
yn+1=yn + h,yn Longrightarrow yn=(1+h)^n,
pois y0=1.

Passo 4

Agora comparamos (1+h)^n com e^n,h. Como para todo x>=0 vale
1+x <= e^x,
basta tomar x=h e elevar à potência n:
(1+h)^n ;<=; (e^h)^n ;=; e^n,h

Passo 5

Da desigualdade acima segue que, para todo n e h>0,
yn = (1+h)^n ;<=; e^n,h = y(tn)
Logo a diferença
en ;=; yn - y(tn)
é sempre menor ou igual a zero. Na prática, o método fica sempre “embaixo” da solução exata.

Resposta

Sim: como (1+h)^n <= e^n,h, temos yn<= y(tn) em todo passo, então o erro en=yn-y(tn) é sempre negativo – ou seja, tem sempre o mesmo sinal.

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