Considere o PVI
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathrm{y} \\
\mathrm{y}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$
b) Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivesse sempre o mesmo sinal? Justifique!
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathrm{y} \\
\mathrm{y}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$
b) Comparando com a solução exata do problema, você esperaria que o erro tivesse sempre o mesmo sinal? Justifique!
Passo 1
Beleza, o enunciado pede a gente comparar a solução exata do PVI
com uma aproximação numérica (no nosso caso, o método de Euler explícito). O conteúdo é análise de erro global em EDOs e vamos precisar de:
- a solução exata
, - a fórmula de Euler
, - a desigualdade básica da exponencial
, que segue da convexidade de .
Passo 2
Primeiro, escrevendo a solução exata no ponto
, temos
Passo 3
Pelo método de Euler explícito com passo
, a iterada é
pois
.
Passo 4
Agora comparamos
com
. Como para todo
vale
basta tomar
e elevar à potência
:
Passo 5
Da desigualdade acima segue que, para todo
e
,
Logo a diferença
é sempre menor ou igual a zero. Na prática, o método fica sempre “embaixo” da solução exata.
Resposta
Sim: como
, temos
em todo passo, então o erro
é sempre negativo – ou seja, tem sempre o mesmo sinal.