a) Reduza y^prime prime prime+g1(x, y) y^prime prime+g2(x, y) y^prime=g3(x, y) a um sistema de três equações de 1^a ordem.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma EDO de terceira ordem:
y''' + g1(x,y),y'' + g2(x,y),y' = g3(x,y)
E o objetivo é “reduzir” essa equação a um sistema de três equações de 1ª ordem. Isso faz parte da matéria de EDOs (equações diferenciais ordinárias), especificamente do método de transformar uma EDO de ordem maior num sistema de EDOs de primeira ordem. O que vamos precisar é:
  • Introduzir novas variáveis que representem as derivadas de .
  • Escrever cada derivada de primeira ordem dessas novas variáveis até reproduzir a equação original.

Passo 2

Pra transformar em sistema de 1ª ordem, a gente define três variáveis:
y1 = y, y2 = y', y3 = y''
Por que isso ajuda? Porque agora cada uma dessas tem uma derivada de primeira ordem, e nosso sistema vai ser justamente isso: as equações para , e . É o procedimento padrão em EDOs: cada ordem “virar” uma variável.

Passo 3

Agora vamos achar as derivadas de cada y1' = y' = y2:
  1. Como y2' = y'' = y3, temos
    y''' = g3(x,y) ;-; g1(x,y),y'' ;-; g2(x,y),y'
  2. Como y3' = g3(x,y1) ;-; g1(x,y1),y3 ;-; g2(x,y1),y2 , temos
  3. Para , usamos a equação original. Isolando :
    Substituindo , , , fica

Resposta

O sistema de três equações de primeira ordem equivalente à EDO dada é:
y1' = y2,[6pt] y2' = y3,[6pt] y3' = g3(x,y1) ;-; g1(x,y1),y3 ;-; g2(x,y1),y2

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