Seja
a superfície de nível 0 de
.
Ache a equação do plano tangente a
no ponto
.
Ache a equação do plano tangente a
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a superfície de nível 0 da função
ou seja
O que a gente quer é o plano tangente a essa superfície no ponto
.
Conteúdo da matéria: superfícies de nível, gradiente de funções de várias variáveis e equação de plano tangente.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: superfícies de nível, gradiente de funções de várias variáveis e equação de plano tangente.
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais de
. - Montar o vetor gradiente
. - Avaliar
no ponto dado. - Usar a fórmula do plano tangente via produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Para uma função
o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Isso porque esse vetor aponta na direção de maior variação de
e é perpendicular à superfície de nível.
No nosso caso:
No nosso caso:
Logo as derivadas parciais são
Portanto
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é justamente o vetor normal à superfície
naquele ponto.
Passo 4
A equação do plano tangente a uma superfície de nível
no ponto
é dada por
Aqui o produto escalar zero garante que o vetor
está no plano perpendicular ao normal
.
Passo 5
Substituindo
e
, temos
que dá
Agora é só distribuir e juntar termos:
Se quiser deixar mais simples, divide tudo por 2:
Resposta
A equação do plano tangente a
no ponto
é