Seja S a superfície de nível 0 de g(x, y, z)=x^2+y^2-z^2-4.
Ache a equação do plano tangente a S no ponto (2,1,-1).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a superfície de nível 0 da função
g(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2 - 4
ou seja
S = (x,y,z)mid g(x,y,z)=0
O que a gente quer é o plano tangente a essa superfície no ponto .
Conteúdo da matéria: superfícies de nível, gradiente de funções de várias variáveis e equação de plano tangente.
O que vamos precisar:
  1. Calcular as derivadas parciais de .
  2. Montar o vetor gradiente .
  3. Avaliar no ponto dado.
  4. Usar a fórmula do plano tangente via produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. Para uma função
g(x,y,z),
o gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
nabla g(x,y,z) = l(partial gpartial x,,partial gpartial y,,partial gpartial zr)
Isso porque esse vetor aponta na direção de maior variação de g(x,y,z)=x^2 + y^2 - z^2 -4 e é perpendicular à superfície de nível.
No nosso caso:
partial gpartial x=2x, partial gpartial y=2y, partial gpartial z=-2z
Logo as derivadas parciais são
nabla g(x,y,z) = (2x,;2y,;-2z)
Portanto

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto nabla g(2,1,-1) = l(2cdot 2,;2cdot 1,;-2cdot (-1)r) = (4,,2,,2) :
Esse vetor é justamente o vetor normal à superfície naquele ponto.

Passo 4

A equação do plano tangente a uma superfície de nível nabla g(x0,y0,z0);cdot;l(x-x0,;y-y0,;z-z0r) =0 no ponto é dada por
Aqui o produto escalar zero garante que o vetor está no plano perpendicular ao normal .

Passo 5

Substituindo (4,2,2)cdot(x-2,y-1,z+1)=0 e 4(x-2) ;+;2(y-1);+;2(z+1)=0 , temos
4x-8 + 2y-2 + 2z+2 = 0 ;Longrightarrow; 4x + 2y + 2z -8 = 0
que dá
2x + y + z -4 = 0
Agora é só distribuir e juntar termos:
Se quiser deixar mais simples, divide tudo por 2:

Resposta

A equação do plano tangente a boxed2x + y + z -4 = 0 no ponto é

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