Considere o PVI
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathrm{y} \\
\mathrm{y}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$
a) Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação, fornece:
$$
y_{k+1}=\left(1+h+h^{2} / 2\right)^{k+1} .
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathrm{y} \\
\mathrm{y}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$
a) Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação, fornece:
$$
y_{k+1}=\left(1+h+h^{2} / 2\right)^{k+1} .
$$
Passo 1
Então vamos lá! O enunciado pede pra estudar o PVI
e mostrar que, se aplicarmos o método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de Heun) a esse problema, a sequência obtida satisfaz
O conteúdo aqui é Método de Euler Aperfeiçoado para ODEs; vamos precisar da fórmula de atualização desse método e de manipular uma recursão para encontrar a expressão fechada de
.
Passo 2
Lembrando a regra do Euler Aperfeiçoado para um problema
:
- calculamos o “slope” inicial
, - fazemos o preditor
, - calculamos o “slope” no ponto previsto
, - atualizamos por
Passo 3
No nosso caso
. Então:
- slope inicial:
. - preditor:
- slope no ponto previsto:
Agora, entramos isso na fórmula do método:
Passo 4
Reorganizando, temos a relação de recorrência
Como a condição inicial é
, basta observar que a cada passo multiplicamos por
. Isso leva à fórmula em closed‐form: