Considere o PVI
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{y}^{\prime}=\mathrm{y} \\
\mathrm{y}(0)=1 .
\end{array}\right.
$$
a) Mostre que o método de Euler Aperfeiçoado, quando aplicado a esta equação, fornece:
$$
y_{k+1}=\left(1+h+h^{2} / 2\right)^{k+1} .
$$

Passo 1

Então vamos lá! O enunciado pede pra estudar o PVI
y' = y, y(0)=1
e mostrar que, se aplicarmos o método de Euler Aperfeiçoado (também chamado de Heun) a esse problema, a sequência obtida satisfaz
yk=l(1+h+tfrach^22r)^k
O conteúdo aqui é Método de Euler Aperfeiçoado para ODEs; vamos precisar da fórmula de atualização desse método e de manipular uma recursão para encontrar a expressão fechada de .

Passo 2

Lembrando a regra do Euler Aperfeiçoado para um problema yk+1=yk+h2l[f(tk,yk)+f(tk+1,y^pre)r] :
  1. calculamos o “slope” inicial ,
  2. fazemos o preditor ,
  3. calculamos o “slope” no ponto previsto ,
  4. atualizamos por

Passo 3

No nosso caso y^pre =yk+h,yk =(1+h),yk . Então:
  • slope inicial: f(tk+1,y^pre) =y^pre =(1+h),yk .
  • preditor: yk+1 = yk + h2l(yk + (1+h)ykr) = yk + h2l(2yk + h,ykr) = yk + ykl(h + tfrach^22r)
  • slope no ponto previsto:
Agora, entramos isso na fórmula do método:

Passo 4

Reorganizando, temos a relação de recorrência
yk+1 = ykl(1 + h + tfrach^22r)
Como a condição inicial é yk = l(1+h+tfrach^22r)^k , basta observar que a cada passo multiplicamos por . Isso leva à fórmula em closed‐form:

Resposta

boxedyk = l(1+h+tfrach^22r)^k

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