Considere o PVI
Repita o item (a), usando agora o método de Taylor de ordem 2.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem o problema de valor inicial
e a ideia é usar o método de Taylor de ordem 2 pra aproximar a solução numericamente. O que vamos precisar:
- A função
. - As derivadas parciais
e . - A fórmula do método de Taylor de ordem 2, baseada em expandir
até termos de .
Passo 2
Vamos montar a fórmula geral do método de Taylor de ordem 2:
Pela expansão de Taylor,
Pela expansão de Taylor,
Como
, e
ficamos com
Passo 3
Agora calculamos as parciais de
:
Passo 4
Vamos aplicar no passo inicial, assumindo um passo genérico
. No ponto
:
-
. -
. -
.
Plugando na fórmula:
Como
, no próximo passo
continua zero, e assim por diante.
Resposta
Usando o método de Taylor de ordem 2 (com qualquer
), a sequência numérica fica
ou seja, a aproximação é
.