Considere o PVI
l y^prime=(y^2-1) /(x^2+1) y(0)=1
Repita o item (a), usando agora o método de Taylor de ordem 2.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem o problema de valor inicial
y'=y^2-1x^2+1, y(0)=1,
e a ideia é usar o método de Taylor de ordem 2 pra aproximar a solução numericamente. O que vamos precisar:
  • A função .
  • As derivadas parciais e .
  • A fórmula do método de Taylor de ordem 2, baseada em expandir até termos de .

Passo 2

Vamos montar a fórmula geral do método de Taylor de ordem 2:
Pela expansão de Taylor,
y(x+h)=y(x)+h,y'(x)+h^22,y''(x)+ O(h^3)
Como y''=ddxf(x,y) =fx(x,y)+fy(x,y),y' =fx(x,y)+fy(x,y),f(x,y), , e
yn+1 =yn+h,f(xn,yn) +h^22l[fx(xn,yn)+fy(xn,yn),f(xn,yn)r]
ficamos com

Passo 3

Agora calculamos as parciais de fx(x,y) =y^2-1(x^2+1)^2,(-2x) =-2x,(y^2-1)(x^2+1)^2, :
fy(x,y) =2yx^2+1

Passo 4

Vamos aplicar no passo inicial, assumindo um passo genérico y1 =1 + hcdot0 +h^22l[0 + 2cdot0r] =1 . No ponto :
  • .
  • .
  • .
Plugando na fórmula:
Como , no próximo passo continua zero, e assim por diante.

Resposta

Usando o método de Taylor de ordem 2 (com qualquer yn = 1 para todo n, ), a sequência numérica fica
ou seja, a aproximação é .

Exercícios relacionados