Considere o PVI
l y^prime=y x^2-y y(0)=1
a) Encontre a solução aproximada usando o método de Euler e Taylor de ordem 2, com h=0.25 e considerando x in[0,2];

Passo 1

Então, o que a questão pede é resolver numericamente o PVI
y'=y,x^2 - y, y(0)=1,
usando dois métodos:
  1. método de Euler (expansão de Taylor de ordem 1)
  2. método de Taylor de ordem 2 (aumentamos o termo em h^2)
    com passo h=0.25 para xin[0,2].
    Para isso a gente vai precisar de:
  • definir f(x,y)=y(x^2-1);
  • no caso de Taylor 2, também das derivadas parciais fx=partial fpartial x=2xy, fy=partial fpartial y=x^2-1

Passo 2

Método de Euler
  1. A ideia é aproximar a solução pela fórmula
yn+1=yn + h,f(xn,yn)
  1. Aqui f(x,y)=y(x^2-1). Começamos em x0=0, y0=1.
  2. Iteramos para n=0,1,dots,7 (total de 8 passos até x=2):
Calculando alguns passos
  • n=0: x0=0,;y0=1,;f(0,1)=(0^2-1)cdot1=-1 implies y1=1+0.25cdot(-1)=0.75
  • n=1: x1=0.25,;y1=0.75,;f(0.25,0.75)=(0.0625-1)cdot0.75=-0.703125 implies y2=0.75+0.25cdot(-0.703125)=0.57421875
    E assim por diante até x=2.

Passo 3

Tabela final do método de Euler
c|c xn & yn (Eu<=r)hline 0.00 & 1.0000000000 0.25 & 0.7500000000 0.50 & 0.5742187500 0.75 & 0.4665527344 1.00 & 0.4155426025 1.25 & 0.4155426025 1.50 & 0.4738521576 1.75 & 0.6219309568 2.00 & 0.9426141065

Passo 4

Método de Taylor de ordem 2
  1. Aqui a expansão é
yn+1=yn + h,f(xn,yn) +h^22l(fx(xn,yn)+f(xn,yn),fy(xn,yn)r)
  1. Lembrando
f(x,y)=y(x^2-1), fx=2xy, fy=x^2-1,
basta calcular em cada nó e somar os termos de ordem h e h^2/2.

Passo 5

Tabela final do método de Taylor 2
c|c xn & yn (Taylor 2)hline 0.00 & 1.0000000000 0.25 & 0.7812500000 0.50 & 0.6317996982 0.75 & 0.5441868500 1.00 & 0.5134408585 1.25 & 0.5455309122 1.50 & 0.6702598433 1.75 & 0.9752804360 2.00 & 1.7144791942

Resposta

As aproximações em x=0,0.25,dots,2.00 ficam:
Método de Euler:
(1.0000,;0.7500,;0.5742,;0.4666,;0.4155,;0.4155,;0.4739,;0.6219,;0.9426)
Método de Taylor 2:
(1.0000,;0.7813,;0.6318,;0.5442,;0.5134,;0.5455,;0.6703,;0.9753,;1.7145).

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