Utilize o método de Taylor de ordem 2 com espaçamento h=0.2 para encontrar y(2) sendo dado o PVI:
l y^prime=cos x+1 y(0)=-1

Passo 1

Então, o enunciado diz: “Usar o método de Taylor de ordem 2 com passo y'=cos x + 1, y(0)=-1 para aproximar y(x+h)=y(x)+h,y'(x)+tfrach^22,y''(x)+O(h^3) ” dado o PVI
Conteúdo: é EDO (equação diferencial ordinária) e método numérico de Taylor de 2ª ordem.
O que precisamos:
  • Saber que Taylor de ordem 2 usa a expansão
  • Saber calcular e .
  • Fazer as iterações de até com .

Passo 2

Primeiro, definimos
f(x,y)=cos x+1
Então
  1. y''(x)=partial fpartial x+0=fx=-sin x .
  2. Como yn+1 =yn +h,f(xn,yn) +h^22,y''(xn) = yn +hl(cos xn+1r) +h^22l(-sin xnr) não depende de , .
  3. .
    Logo


A fórmula recursiva de Taylor 2 é
[
y_{n+1}
=y_n
+h,f(x_n,y_n)
+\frac{h^2}{2},y’’(x_n)

y_n
+h\bigl(\cos x_n+1\bigr)
+\frac{h^2}{2}\bigl(-\sin x_n\bigr).
]

Passo 3

Definimos as condições iniciais e o passo:
x0=0, y0=-1, h=0.2
Queremos pois .

Passo 4

Agora iteramos para yn+1=yn +h,fn +h^22,y''n :
Para cada :
  1. Calcular .
  2. Calcular .
  3. Atualizar
  4. Definir .
Fazendo as contas (valores aproximados):
n=0:

n=1:

n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
n=6:
n=7:
n=8:
n=9:

Resposta

Usando o método de Taylor de 2ª ordem com boxedy(2)approx 1.91584 , encontramos

Exercícios relacionados