Utilize o método de Taylor de ordem 2 com espaçamento
para encontrar
sendo dado o PVI:
Passo 1
Então, o enunciado diz: “Usar o método de Taylor de ordem 2 com passo
para aproximar
” dado o PVI
Conteúdo: é EDO (equação diferencial ordinária) e método numérico de Taylor de 2ª ordem.
O que precisamos:
O que precisamos:
- Saber que Taylor de ordem 2 usa a expansão
- Saber calcular
e . - Fazer as iterações de
até com .
Passo 2
Primeiro, definimos
Então
-
. - Como
não depende de , . -
.
Logo
A fórmula recursiva de Taylor 2 é
[
y_{n+1}
=y_n
+h,f(x_n,y_n)
+\frac{h^2}{2},y’’(x_n)
y_n
+h\bigl(\cos x_n+1\bigr)
+\frac{h^2}{2}\bigl(-\sin x_n\bigr).
]
+h\bigl(\cos x_n+1\bigr)
+\frac{h^2}{2}\bigl(-\sin x_n\bigr).
]
Passo 3
Definimos as condições iniciais e o passo:
Queremos
pois
.
Passo 4
Agora iteramos para
:
Para cada
:
- Calcular
. - Calcular
. - Atualizar
- Definir
.
Fazendo as contas (valores aproximados):
n=0:
⇒
n=0:
n=1:
⇒
n=2:
⇒
n=3:
⇒
n=4: ⇒
n=5: ⇒
n=6: ⇒
n=7: ⇒
n=8: ⇒
n=9: ⇒
n=4:
n=5:
n=6:
n=7:
n=8:
n=9:
Resposta
Usando o método de Taylor de 2ª ordem com
, encontramos