Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo
usando 8 subintervalos.
O que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique o motivo pelo qual ocorre o que foi observado.
O que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique o motivo pelo qual ocorre o que foi observado.
Passo 1
Beleza! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI)
no intervalo
e queremos uma solução numérica aproximada usando 8 subintervalos, provavelmente pelo método de Euler explícito.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias e método de Euler.
O que precisamos:
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias e método de Euler.
O que precisamos:
- calcular o tamanho do passo
, - lembrar a fórmula do método de Euler,
- entender como o erro local se torna erro global e como ele “cresce” à medida que avançamos em
.
Passo 2
Primeiro, o tamanho do passo
é
No método de Euler explícito, a regra de atualização é
aqui
. Ou seja,
A cada passo, introduzimos um pequeno erro (erro local) por ter aproximado a inclinação em todo o intervalo pelo valor em
.
Passo 3
Erro local e global
- Erro local por passo: normalmente é da ordem
. - Erro global (o que a gente vê no final) é a soma/propagação desses erros locais ao longo dos
passos. Para o método de Euler, o erro global no ponto é , mas multiplicado pelo número de passos até .
Como
, o número de passos até chegar em
é
. Logo, heurísticamente,
Passo 4
Conclusão teórica do comportamento do erro
Até aqui vimos que o erro global em cresce proporcionalmente a
. Isso significa que, conforme a gente vai se afastando de
(a condição inicial), o número de passos aumentou e a soma dos errinhos locais também. Mesmo que cada um seja pequeno (
), a soma dá uma quantidade
, logo cresce com
.
Até aqui vimos que o erro global em
Resposta
O erro da aproximação pelo método de Euler aumenta conforme nos afastamos da condição inicial (
); ele cresce de maneira aproximadamente linear em
. Isso acontece porque, a cada passo, um erro local
é introduzido e todos esses errinhos vão se acumulando ao longo dos
passos até
, gerando um erro global de ordem
.