Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=4-2 x y(0)=2
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[0,2] usando 8 subintervalos.
O que ocorre com o erro conforme nos afastamos da condição inicial? Justifique o motivo pelo qual ocorre o que foi observado.

Passo 1

Beleza! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI)
y' = 4 - 2x, y(0)=2,
no intervalo e queremos uma solução numérica aproximada usando 8 subintervalos, provavelmente pelo método de Euler explícito.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias e método de Euler.
O que precisamos:
  • calcular o tamanho do passo ,
  • lembrar a fórmula do método de Euler,
  • entender como o erro local se torna erro global e como ele “cresce” à medida que avançamos em .

Passo 2

Primeiro, o tamanho do passo h = b-aN = 2-08 = 0.25 é
yn+1 = yn + h,f(xn,yn)
No método de Euler explícito, a regra de atualização é
yn+1 = yn + 0.25,(4 - 2xn)
aqui . Ou seja,
A cada passo, introduzimos um pequeno erro (erro local) por ter aproximado a inclinação em todo o intervalo pelo valor em .

Passo 3

Erro local e global
  • Erro local por passo: normalmente é da ordem erro global em xn sim l(erro localr)times n ;=; O(h^2)timesxnh ;=; O(h,xn) .
  • Erro global (o que a gente vê no final) é a soma/propagação desses erros locais ao longo dos passos. Para o método de Euler, o erro global no ponto é , mas multiplicado pelo número de passos até .
Como , o número de passos até chegar em é . Logo, heurísticamente,

Passo 4

Conclusão teórica do comportamento do erro
Até aqui vimos que o erro global em cresce proporcionalmente a . Isso significa que, conforme a gente vai se afastando de (a condição inicial), o número de passos aumentou e a soma dos errinhos locais também. Mesmo que cada um seja pequeno ( ), a soma dá uma quantidade , logo cresce com .

Resposta

O erro da aproximação pelo método de Euler aumenta conforme nos afastamos da condição inicial ( ); ele cresce de maneira aproximadamente linear em . Isso acontece porque, a cada passo, um erro local é introduzido e todos esses errinhos vão se acumulando ao longo dos passos até , gerando um erro global de ordem .

Exercícios relacionados