Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=-1x^3-yx y(1)=1
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[1,2] usando 4 subintervalos.
Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de 2^ a ordem.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem o PVI
y' = -1x^3 - yx, y(1)=1,
no intervalo yn+1=yn + h,fn + h^22l(fx + fy,fr)|(xn,yn) , dividido em 4 subintervalos. A matéria é “Método de Taylor de 2ª ordem” para EDOs. Para resolver, vamos precisar:
  1. escrever ,
  2. calcular e ,
  3. aplicar a fórmula de Taylor de ordem 2

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais.
  1. fx + fy,f =3x^-4+yx^2 ;-;1xl(-x^-3-tfrac yxr) =4x^-4 + 2yx^2 .

  2. Então

Passo 3

O passo x0=1, y0=1 . Vamos anotar
yn+1 =yn + h,f(xn,yn) +h^22l(4xn^-4 + 2yn/xn^2r)
A cada iteração usamos

Passo 4

n=0 (de y1 = 1 + 0.25cdot(-2) + 0.25^22,6 =1 - 0.5 + 0.03125cdot6 =0.6875 a ):
,
.
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Passo 5

n=1 (de y2 = 0.6875 + 0.25cdot(-1.062) + 0.03125cdot2.5184 approx0.5007 a ):
,
.

Passo 6

n=2 (de y3 = 0.5007 + 0.25cdot(-0.6301) + 0.03125cdot1.235 approx0.3818 a ):
,
.

Passo 7

n=3 (de y4 = 0.3818 + 0.25cdot(-0.4049) + 0.03125cdot0.6754 approx0.3017 a ):
,
.

Resposta

A solução aproximada pelos 5 pontos é
c|c xn & ynhline 1.00 & 1.0000 1.25 & 0.6875 1.50 & 0.5007 1.75 & 0.3818 2.00 & 0.3017
Em particular, .

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