Considere a relação entre a resistência à tração do aço e a variação da temperatura conforme
T( ^circ C) 250 330 412 485 617
Tr(kg / cm^2) 5720 5260 4450 2780 1506
a) Determinar a função que melhor se ajusta a tabela de dados.
b) Encontre a resistência à tração para T=380^circ C e 730^circ C.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar qual função se ajusta melhor a esses dados de temperatura T versus resistência à tração Tr, e depois usar essa função pra estimar Tr em T = 380 °C e T = 730 °C.
Conteúdo: regressão de dados, mais precisamente vamos supor um modelo exponencial
e ajustar Tr(T) = a,e^b,T e pelo método dos mínimos quadrados (linearizando com logaritmo). Vamos precisar:
  1. transformar em ,
  2. calcular somatórios ,
  3. usar as fórmulas da reta ajustada a .

Passo 2

Primeiro linearizamos o modelo exponencial aplicando logaritmo natural:
Definindo lnTr = ln a + b,T e , viramos um problema de reta com e .

Passo 3

Calculamos os somatórios (com os 5 pontos da tabela):
sum xi &= 250 + 330 + 412 + 485 + 617 = 2094, sum yi &= ln(5720)+ln(5260)+ln(4450)+ln(2780)+ln(1506)approx 40.867, sum xi^2 &= 250^2 + 330^2 + 412^2 + 485^2 + 617^2 approx 957058, sum xi yi &approx 250cdot8.651 + 330cdot8.567 + 412cdot8.399 + 485cdot7.930 + 617cdot7.320 approx 16805.94
O número de pontos é .

Passo 4

As fórmulas dos mínimos quadrados para reta são:
B = nsum xi yi - (sum xi)(sum yi)nsum xi^2 - (sum xi)^2, A = sum yi - Bsum xin
Substituindo:
B approx 5cdot16805.94 - 2094cdot40.8675cdot957058 - 2094^2 approx -0.003857,
A approx 40.867 - (-0.003857)cdot20945 approx 9.788
Logo e .

Passo 5

Portanto, a função que melhor ajusta é
Agora estimamos:

Resposta

Função ajustada:
Estimativas:

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