A função
D(x)=3x^3 integral0^x y^3e^y-1 d y
é encontrada em termodinâmica estática no cálculo do calor específico a volume constante de certas substâncias. Calcule uma aproximação para esta função no ponto x=2 com 3 subintervalos.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar, em D(x)=3x^3integral0^xy^3e^y-1,dy , a função
usando 3 subintervalos.
Isso é um problema de cálculo numérico: a gente vai aproximar a integral por uma soma de Riemann (aqui, vamos usar a Regra do Trapézio composta) e depois multiplicar por .
O que vamos precisar:
  • Dividir o intervalo em 3 pedaços iguais;
  • Calcular a função nos pontos da partição;
  • Aplicar a fórmula da Regra do Trapézio composta;
  • Finalmente, montar .

Passo 2

Primeiro dividimos h=2-03=23 em 3 subintervalos de mesmo tamanho. O comprimento de cada subintervalo é
y0=0, y1=tfrac23, y2=tfrac43, y3=2
Os pontos da partição são

Passo 3

Definimos
f(y)=y^3e^y-1
Na Regra do Trapézio composta, a integral integral0^2 f(y),dyapprox h2l[f(y0)+2f(y1)+2f(y2)+f(y3)r] fica aproximada por

Passo 4

Vamos calcular em cada ponto:
  1. .

Passo 5

Agora montamos a soma do Trapézio:
integral0^2 f(y),dy approx h2l[f0+2f1+2f2+f3r] =tfrac232l[0+2(0.3127+0.8487)+1.2522r]
Dentro do colchete temos
2(0.3127+0.8487)+1.2522=2(1.1614)+1.2522=2.3228+1.2522=3.5750
Logo
integral0^2 f(y),dyapprox13times3.5750=1.1917

Passo 6

Finalmente, substituímos em
D(2)=32^3integral0^2 f(y),dy =38times1.1917approx0.375times1.1917approx0.4469

Resposta

Aproximação de boxedD(2)approx0.447 com 3 subintervalos (Regra do Trapézio) é

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