Use o método Newton-Raphson para encontrar uma raiz negativa do seguinte polinômio cúbico x^3-2 x+1 para x0=-1,5. Adote 3 casas decimais de precisão, até que haja a convergência do processo. Adote arredondamento.

Passo 1

Beleza, aqui o desafio é usar o método de Newton–Raphson pra achar a raiz negativa do polinômio
f(x)=x^3-2x+1
partindo de xn+1=xn - f(xn)f'(xn), com precisão de 3 casas decimais (arredondando a cada iteração). O conteúdo é de métodos numéricos (iterações), e vamos precisar de:
1. A fórmula do Newton–Raphson:

2. Saber derivar o polinômio pra achar .
3. Arredondar cada a 3 casas decimais e ver quando parar (mudança < 0,001).

Passo 2

Primeiro, vamos montar tudo:
  • A função: f(x)=x^3-2x+1
  • A derivada: f'(x)=3x^2-2
  • A regra de atualização do Newton–Raphson: xn+1=xn - xn^3-2xn+13xn^2-2

Passo 3

Calcular x1 = -1,500 - 0,6254,75 = -1,500 - 0,131579ldots approx -1,632 (arredondado a 3 casas) a partir de :

Passo 4

Calcular x2 = -1,632 - -0,08265,989 = -1,632 + 0,01379 approx -1,618 (arredondado a 3 casas) a partir de :

Passo 5

Vamos fazer mais uma iteração pra checar a estabilidade:
  • Se você refizer com , vai achar de novo (mesmo valor a 3 casas).
  • Como não muda em 3 casas decimais, a gente para aqui: convergiu.

Resposta

A raiz negativa aproximada, com 3 casas decimais, é
-1,618

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