Considere o seguinte funcional de custo
J=12 sumi=1^n(yi-f(xi))^2
onde f(x)=a x+b sen(x) e (xi ; yi) é um conjunto de pontos no plano. Para minimizar o funcional de custo, tome as derivadas parciais em relação as parâmetros a e b, monte o SEL e encontre sua solução para os pares ordenados: (1 ; 1,68),(1,2 ; 2,05) e (2 ; 2,51). .

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente ajustar uma função do tipo
a três pontos f(x)=a,x + b,sen(x) usando o critério de mínimos quadrados. O custo é
J=12sumi=1^n (yi - f(xi))^2
Conteúdo: regressão pelo método dos mínimos quadrados e derivadas parciais. Vamos precisar:
  1. Entender que pra minimizar a gente anula e .
  2. Montar o sistema normal (SEL).
  3. Calcular somatórios com os três pontos .
  4. Resolver o sistema pra achar e .

Passo 2

Primeiro, escrevemos o erro em cada ponto:
Então
ei = yi - l(a,xi + b,sen(xi)r)
Para minimizar, calculamos as derivadas parciais:
J=12sumi=1^3 ei^2

Passo 3

As equações acima viram o sistema normal:
Reorganizando:

Passo 4

Vamos aos somatórios (aproximando , , ):
  1. 6,44,a ;+;3,77851,b = 9,16, 3,77851,a ;+;2,40350,b = 5,60519
Então o SEL fica

Passo 5

Agora é só resolver o 2×2. O determinante é
D = 6,44cdot2,40350 - (3,77851)^2 approx1,2153
Usando regra de Cramer:
a = 9,16cdot2,40350 -3,77851cdot5,60519D approx0,713,
b = 6,44cdot5,60519 -9,16cdot3,77851D approx1,222

Resposta

Os parâmetros que minimizam boxedaapprox0,713, bapprox1,222 são aproximadamente

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