A equação f(x)=x-9^-x tem uma raiz no intervalo [0,1]. Usando interpolação inversa, determine uma aproximação para esta raiz usando polinômio interpolador de Lagrange sobre os pontos x0=0, x1=0,5, x2=1.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra achar a raiz da função
f(x)=x - 9^-x
no intervalo , mas usando interpolação inversa com o polinômio de Lagrange nos pontos , , .
Conteúdo importante:
  • Entender o que é interpolação inversa (a gente troca por e interpola em função de ).
  • Saber usar o polinômio de Lagrange para aproximar uma função .
  • Avaliar esse polinômio em (porque a raiz é o tal que ).

Passo 2

Primeiro, calculamos os valores de f(0)&=0 - 9^0cdot(-1) = 0 - 1 = -1, f(0.5)&=0.5 - 9^-0.5 = 0.5 - tfrac13 approx 0.1666667, f(1)&=1 - 9^-1 = 1 - tfrac19 approx 0.8888889 nos pontos dados:

Passo 3

Agora a ideia da interpolação inversa é usar os pares (y0,x0)=(-1,0), (y1,x1)=(0.1666667,0.5), (y2,x2)=(0.8888889,1) em vez de . Aqui:
A gente vai montar um polinômio de Lagrange que aproxime quando o argumento é .

Passo 4

O polinômio de Lagrange de grau 2 para P(y) = sumi=0^2 xi , elli(y), em função de elli(y) = prodsubstackj=0 jneq i^2 y - yjyi - yj é
onde
Vamos precisar de , e porque queremos .

Passo 5

Calcule cada ell0(0) = (0-y1)(0-y2)(y0-y1)(y0-y2) = (-0.1666667),(-0.8888889)(-1-0.1666667)(-1-0.8888889) approx 0.06729, :
ell1(0) = (0-y0)(0-y2)(y1-y0)(y1-y2) = (1)(-0.8888889)(0.1666667+1)(0.1666667-0.8888889) approx 1.05488,
ell2(0) = (0-y0)(0-y1)(y2-y0)(y2-y1) = (1)(-0.1666667)(0.8888889+1)(0.8888889-0.1666667) approx -0.12217
P(0) = x0,ell0(0) + x1,ell1(0) + x2,ell2(0) = 0cdot0.06729 + 0.5cdot1.05488 + 1cdot(-0.12217) approx 0.40522
Então o polinômio no ponto é

Resposta

A aproximação da raiz de boxedx approx 0.4052 no intervalo usando interpolação inversa de Lagrange com três pontos é aproximadamente

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