Considere a seguinte integral definida
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados
, e
tal que
e
. Sendo assim:
aproxime o valor de
pela regra
de Simpson simples;
aproxime o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida $ I = \int_{0}^{\pi / 2} [\sin(x) + x \cos(x)] , dx $ usando a regra de Simpson 1/3 com 3 pontos igualmente espaçados: $ x_0 = 0 $, $ x_1 $, e $ x_2 = \pi / 2 $. Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral e métodos numéricos, especificamente a regra de Simpson 1/3.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a regra de Simpson 1/3 funciona. Ela é usada para aproximar o valor de integrais definidas e é mais precisa que métodos simples como a regra do trapézio. A fórmula da regra de Simpson 1/3 para 3 pontos é:
onde $ h = \frac{b - a}{2} $, e $ a $ e $ b $ são os limites da integral.
Passo 3
Vamos identificar os valores dos nossos pontos. Sabemos que $ x_0 = 0 $ e $ x_2 = \pi / 2 $. Com esses dois pontos e sabendo que são igualmente espaçados, podemos encontrar $ h $:
Então, $ x_1 = x_0 + h = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $.
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores da função $ f(x) = \sin(x) + x \cos(x) $ nos pontos $ x_0 $, $ x_1 $ e $ x_2 $:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson 1/3 com os valores que calculamos:
Simplificando:
Passo 6
Para finalizar, vamos calcular numericamente essa expressão. Se preferir, pode usar uma calculadora para obter uma aproximação decimal:
Resposta
A aproximação do valor da integral $ I $ usando a regra de Simpson 1/3 é aproximadamente $ 1.583 $.