Considere a seguinte integral definida I=integral0^pi / 2[sin (x)+x cos (x)] d x e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados x0, x1, e x2 tal que x0=0 e x2=pi / 2. Sendo assim:
aproxime o valor de I pela regra 1 / 3 de Simpson simples;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida $ I = \int_{0}^{\pi / 2} [\sin(x) + x \cos(x)] , dx $ usando a regra de Simpson 1/3 com 3 pontos igualmente espaçados: $ x_0 = 0 $, $ x_1 $, e $ x_2 = \pi / 2 $. Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo integral e métodos numéricos, especificamente a regra de Simpson 1/3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a regra de Simpson 1/3 funciona. Ela é usada para aproximar o valor de integrais definidas e é mais precisa que métodos simples como a regra do trapézio. A fórmula da regra de Simpson 1/3 para 3 pontos é:
integrala^b f(x) , dx approx h3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
onde $ h = \frac{b - a}{2} $, e $ a $ e $ b $ são os limites da integral.

Passo 3

Vamos identificar os valores dos nossos pontos. Sabemos que $ x_0 = 0 $ e $ x_2 = \pi / 2 $. Com esses dois pontos e sabendo que são igualmente espaçados, podemos encontrar $ h $:
x0 = 0
Então, $ x_1 = x_0 + h = 0 + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} $.

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores da função $ f(x) = \sin(x) + x \cos(x) $ nos pontos $ x_0 $, $ x_1 $ e $ x_2 $:
f(x) = sin(x) + x cos(x)
x0
x1

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson 1/3 com os valores que calculamos:
I approx h3 [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)] = pi/43 [0 + 4 cdot raiz22 (1 + pi4) + 1]
Simplificando:
I approx pi12 [0 + 2raiz2 (1 + pi4) + 1] = pi12 [2raiz2 + pi raiz22 + 1]

Passo 6

Para finalizar, vamos calcular numericamente essa expressão. Se preferir, pode usar uma calculadora para obter uma aproximação decimal:
I approx pi12 [2 cdot 1.4142 + 3.1416 cdot 1.41422 + 1] approx pi12 [2.8284 + 2.2214 + 1] approx pi12 cdot 6.0498 approx 1.583

Resposta

A aproximação do valor da integral $ I $ usando a regra de Simpson 1/3 é aproximadamente $ 1.583 $.

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