Considere a seguinte integral definida I=integral0^pi / 2[sin (x)+x cos (x)] d x e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados x0, x1, e x2 tal que x0=0 e x2=pi / 2. Sendo assim:
aproxime o valor de I pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida $ I = \int_{0}^{\pi / 2} [\sin(x) + x \cos(x)] , dx $ usando a regra do trapézio repetida. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente a aproximação de integrais definidas. Vamos precisar entender como funciona a Regra do Trapézio e como aplicá-la em múltiplos pontos igualmente espaçados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Trapézio. Ela é uma técnica para aproximar o valor de uma integral usando trapezoides em vez de curvas. Basicamente, dividimos a área sob a curva em trapézios, calculamos a área de cada trapézio e somamos tudo.

Passo 3

Como temos 3 pontos igualmente espaçados $ x_0 = 0 $, $ x_1 $ e $ x_2 = \pi/2 $, isso significa que o intervalo x0 = 0 está dividido em 2 subintervalos. Para encontrar a largura de cada subintervalo ($ h $), usamos:
x1

Passo 4

Agora, vamos calcular os pontos:
x0 = 0
x1 = x0 + h = 0 + pi4 = pi4
x2 = pi2

Passo 5

Em seguida, avaliamos a função $ f(x) = \sin(x) + x \cos(x) $ nesses pontos:
f(x) = sin(x) + x cos(x)
f(x0) = sin(0) + 0 cdot cos(0) = 0 + 0 = 0
f(x1) = sin(pi4) + pi4 cos(pi4) = raiz22 + pi4 cdot raiz22 = raiz22 (1 + pi4)

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio com $ n = 2 $ subintervalos:
n = 2
Substituindo os valores que encontramos:
I approx h2 [f(x0) + 2f(x1) + f(x2)]

Passo 7

Simplificando a expressão:
I approx pi8 [0 + raiz2 (1 + pi4) + 1] = pi8 (1 + raiz2 (1 + pi4))

Resposta

Assim, a aproximação do valor de $ I $ pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos é:
I

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