Considere a seguinte integral definida
e um conjunto de 3 pontos igualmente espaçados
, e
tal que
e
. Sendo assim:
aproxime o valor de
pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos;
aproxime o valor de
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida $ I = \int_{0}^{\pi / 2} [\sin(x) + x \cos(x)] , dx $ usando a regra do trapézio repetida. A matéria aqui é Cálculo Integral, especificamente a aproximação de integrais definidas. Vamos precisar entender como funciona a Regra do Trapézio e como aplicá-la em múltiplos pontos igualmente espaçados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Trapézio. Ela é uma técnica para aproximar o valor de uma integral usando trapezoides em vez de curvas. Basicamente, dividimos a área sob a curva em trapézios, calculamos a área de cada trapézio e somamos tudo.
Passo 3
Como temos 3 pontos igualmente espaçados $ x_0 = 0 $, $ x_1 $ e $ x_2 = \pi/2 $, isso significa que o intervalo
está dividido em 2 subintervalos. Para encontrar a largura de cada subintervalo ($ h $), usamos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os pontos:
Passo 5
Em seguida, avaliamos a função $ f(x) = \sin(x) + x \cos(x) $ nesses pontos:
Passo 6
Agora aplicamos a fórmula da Regra do Trapézio com $ n = 2 $ subintervalos:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
Assim, a aproximação do valor de $ I $ pela regra do trapézio repetida usando todos os pontos é: