Em média, a altura H dos seres humanos está relacionada com a sua massa M. Medidas em diversas pessoas resultaram na seguinte tabela
H[m] 1.60 1.65 1.72 1.76 1.81 1.88 1.93 1.97 2.00
M[kg] 55 63 70 79 84 85 90 95 101
Baseado na interpolação polinominal de Lagrange, estime a massa de um indivíduo com 1.85 m de altura.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma tabela com alturas e massas de várias pessoas. A ideia é usar interpolação polinomial de Lagrange para estimar a massa de alguém com 1,85 m.
Conteúdo: interpolação de Lagrange.
O que vamos precisar:
  • Escolher uns pontos próximos de .
  • Montar as funções base de Lagrange .
  • Somar tudo pra achar .

Passo 2

Primeiro, escolho três pares (1,81,,84), (1,88,,85), (1,93,,90) cujas alturas fiquem pertinho de 1,85. Os mais próximos são:
Por que três? Porque daí a gente faz um polinômio de grau 2 (quadrático), que é simples e costuma já dar boa aproximação local.

Passo 3

Teoria rápida: o polinômio de Lagrange de grau 2 é
P(x);=;sumi=0^2 Mi;li(x),
onde cada
li(x) ;=;prodsubstackj=0jneq i^2 x - HjHi - Hj
Isso garante que , ou seja, e para .

Passo 4

Vamos escrever cada base l0(x) =(x-1,88)(x-1,93)(1,81-1,88)(1,81-1,93) =(x-1,88)(x-1,93)(-0,07),(-0,12) =(x-1,88)(x-1,93)0,0084 escolhendo:
l1(x) =(x-1,81)(x-1,93)(1,88-1,81)(1,88-1,93) =(x-1,81)(x-1,93)(0,07)(-0,05) =(x-1,81)(x-1,93)-0,0035
  1. l2(x) =(x-1,81)(x-1,88)(1,93-1,81)(1,93-1,88) =(x-1,81)(x-1,88)(0,12)(0,05) =(x-1,81)(x-1,88)0,006 :
P(x)=84,l0(x)+85,l1(x)+90,l2(x)
  1. :
  1. :
Então

Passo 5

Agora avalio em l0(1,85) =(1,85-1,88)(1,85-1,93)0,0084 =(-0,03)(-0,08)0,0084 approx0,2857 :
l1(1,85) =(1,85-1,81)(1,85-1,93)-0,0035 =(0,04)(-0,08)-0,0035 approx0,9143
l2(1,85) =(1,85-1,81)(1,85-1,88)0,006 =(0,04)(-0,03)0,006 =-0,2000
P(1,85) =84,(0,2857)+85,(0,9143)+90,(-0,2000) approx24,00 +77,71 -18,00 approx83,71
Verifica que . Beleza!
Agora

Resposta

A massa estimada para uma altura de 1,85 m é aproximadamente .

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