Utilize e para determinar a solução de através da resolução de dois sistemas triangulares.
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver o sistema
usando a decomposição com pivotação parcial
e, em seguida, resolver dois sistemas triangulares
Conteúdo: Álgebra Linear – método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, decomposição LU, e solução de sistemas triangulares.
Vamos precisar entender:
Como escolher pivô e montar a matriz de permutação .
Como gravar os multiplicadores em e obter .
Como resolver sistemas triangular inferior e superior passo a passo.
Passo 2
Encontrando por eliminação com pivotação parcial:
Matriz inicial
Primeiro pivô: coluna 1, maior valor em módulo é 3 & 2 & 2 0 & tfrac23 & tfrac143 0 & tfrac43 & -tfrac23 , que está na linha 3.
Troca linha 1 ↔ linha 3.
3 & 2 & 2 0 & tfrac43 & -tfrac23 0 & tfrac23 & tfrac143 faz essa troca; depois veremos a forma final de U= 3 & 2 & 2 0 & tfrac43 & -tfrac23 0 & 0 & 5 .
Após a troca, a matriz vira
L= 1 & 0 & 0 tfrac13& 1 & 0 -tfrac13&tfrac12&1
Eliminação na coluna 1:
P= 0&0&1 1&0&0 0&1&0 , , .
Subtraio essas múltiplas da linha 1 das linhas 2 e 3, obtendo
Segundo pivô (na submatriz 2×2): coluna 2, entre as linhas 2 e 3, , então trocamos linha 2 ↔ linha 3.
Isso gera .
Ajustamos também os elementos de correspondentes à coluna 1 (troca de linhas 2 e 3 em ).
Matriz fica
Eliminação na coluna 2 (submatriz 2×2):
Multiplicador .
Subtraio × linha 2 da linha 3, gerando zero em (3,2) e ficando
Montando completo (com 1’s na diagonal):
Após os dois pivôs e trocas,