Considere a seguinte matriz A e o seguinte vetor b:
Utilize A=(ccc 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 4 3 & 2 & 2 ), b=(c 0 10 -10 ) e L, U para determinar a solução de P através da resolução de dois sistemas triangulares.

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver o sistema
A x = b
usando a decomposição com pivotação parcial
P,A = L,U
e, em seguida, resolver dois sistemas triangulares
L,y = P,b, U,x = y
Conteúdo: Álgebra Linear – método de eliminação de Gauss com pivotação parcial, decomposição LU, e solução de sistemas triangulares.
Vamos precisar entender:
  1. Como escolher pivô e montar a matriz de permutação .
  2. Como gravar os multiplicadores em e obter .
  3. Como resolver sistemas triangular inferior e superior passo a passo.

Passo 2

Encontrando A= 1 & 2 & 0 -1& 0 & 4 3 & 2 & 2 por eliminação com pivotação parcial:
  1. Matriz inicial
3 & 2 & 2 -1& 0 & 4 1 & 2 & 0
  1. Primeiro pivô: coluna 1, maior valor em módulo é 3 & 2 & 2 0 & tfrac23 & tfrac143 0 & tfrac43 & -tfrac23 , que está na linha 3.
    • Troca linha 1 ↔ linha 3.
    • 3 & 2 & 2 0 & tfrac43 & -tfrac23 0 & tfrac23 & tfrac143 faz essa troca; depois veremos a forma final de U= 3 & 2 & 2 0 & tfrac43 & -tfrac23 0 & 0 & 5 .
    • Após a troca, a matriz vira
    L= 1 & 0 & 0 tfrac13& 1 & 0 -tfrac13&tfrac12&1
  2. Eliminação na coluna 1:
    • P= 0&0&1 1&0&0 0&1&0 , , .
    • Subtraio essas múltiplas da linha 1 das linhas 2 e 3, obtendo
  3. Segundo pivô (na submatriz 2×2): coluna 2, entre as linhas 2 e 3, , então trocamos linha 2 ↔ linha 3.
    • Isso gera .
    • Ajustamos também os elementos de correspondentes à coluna 1 (troca de linhas 2 e 3 em ).
    • Matriz fica
  4. Eliminação na coluna 2 (submatriz 2×2):
    • Multiplicador .
    • Subtraio  × linha 2 da linha 3, gerando zero em (3,2) e ficando
  5. Montando completo (com 1’s na diagonal):
    Após os dois pivôs e trocas,
  6. A permutação total é , que dá
    de modo que .

Passo 3

Agora resolvemos
  1. b=010-10, P,b=-10010 .
    • Primeiro calcule y1 = -10, tfrac13,y1 + y2 = 0, -tfrac13,y1 + tfrac12,y2 + y3 = 10 : y=-10tfrac1035
    • Escrevendo o sistema:
    • Daí:


    • Logo

Passo 4

Depois, 3 & 2 & 2 0 & tfrac43 & -tfrac23 0 & 0 & 5 x1x2x3 = -10tfrac1035 :
[

.
]
Resolvendo de baixo pra cima (substituição retroativa):

Resposta

x = -631

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